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Fläche zwischen zwei Graphen berechnen
Die Fläche zwischen zwei Graphen berechnest du mit dem Integral der oberen Funktion minus der unteren Funktion. Zuerst prüfst du den gemeinsamen Definitionsbereich. Wechseln die Graphen ihre Reihenfolge, teilst du ein definitionslückenfreies Intervall an den Schnittpunkten und addierst die positiven Teilflächen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum die Differenzfunktion die Fläche beschreibt
Für zwei Funktionen $f$ und $g$ misst die Differenz ihrer Funktionswerte den senkrechten Abstand der Graphen. Liegt $f$ oben, ist dieser Abstand
$$h(x)=f(x)-g(x).$$
Liegt $g$ oben, verwendest du entsprechend $h(x)=g(x)-f(x)$. Der Flächeninhalt auf einem Intervall $[a;b]$ ist dann
$$A=\int_a^b \bigl(\text{obere Funktion}-\text{untere Funktion}\bigr)\,dx.$$
Geometrischer Flächeninhalt
Ein geometrischer Flächeninhalt ist nie negativ. Ein bestimmtes Integral kann dagegen negativ sein: Es ist eine orientierte Flächenbilanz. Deshalb musst du die Reihenfolge der Graphen beachten oder jeden Teilintegralwert als Betrag nehmen.
Sind beide Funktionen auf einem definitionslückenfreien Teilintervall stetig, gilt zwischen zwei benachbarten Schnittpunkten: oben minus unten. Dann erhältst du direkt eine positive Teilfläche.
So gehst du sicher Schritt für Schritt vor
- Gemeinsamen Definitionsbereich prüfen: Beide Funktionen müssen im betrachteten Abschnitt definiert sein. Markiere Definitionslücken.
- Schnittpunkte bestimmen: Löse $f(x)=g(x)$.
- Grenzen auswählen: Behalte die Schnittstellen, die im betrachteten Intervall liegen, und sortiere sie zusammen mit den äußeren Grenzen und möglichen Definitionslücken.
- Oben und unten prüfen: Setze in jedem definitionslückenfreien Teilintervall einen einfachen Testwert in beide Funktionen ein.
- Teilintegrale berechnen: Integriere jeweils obere minus untere Funktion.
- Teilflächen addieren: Die Summe der endlichen Teilflächen ist der gesuchte Flächeninhalt.
Sind die äußeren Grenzen nicht vorgegeben, begrenzen meist die äußeren Schnittpunkte den eingeschlossenen Bereich. Ein Schnittpunkt innerhalb des Bereichs ist zusätzlich eine Teilungsstelle.
Für stetige Funktionen kann sich die Reihenfolge auf einem definitionslückenfreien Teilintervall nur an einem Schnittpunkt ändern. Eine Definitionslücke ist dagegen kein Schnittpunkt. Sie wird als zusätzliche Grenze behandelt. Bei einer solchen Grenze musst du gesondert prüfen, ob das uneigentliche Integral existiert und die Fläche endlich ist. Zum Beispiel ist $f(x)=\frac1x$ bei $x=0$ nicht definiert; zusammen mit $g(x)=0$ auf $[-1;1]$ entsteht deshalb nicht automatisch eine endliche eingeschlossene Fläche.
Du darfst auch durchgehend $f-g$ integrieren. Dann gilt sicher:
$$A=\sum_i\left|\int_{x_i}^{x_{i+1}}(f(x)-g(x))\,dx\right|.$$
Wichtig ist der Betrag um jedes einzelne Teilintegral. Ein einziger Betrag um das Gesamtintegral kann Teilflächen gegenseitig aufheben.
Beispiel ohne inneren Reihenfolgewechsel
Gegeben sind
$$f(x)=x^2-1,\qquad g(x)=x+1$$
auf dem Intervall $[-1;2]$.
1. Schnittpunkte:
$$x^2-1=x+1$$
liefert $x=-1$ und $x=2$. Es gibt also keinen weiteren Schnittpunkt im Inneren des Intervalls.
2. Obere Funktion: Beim Testwert $x=0$ gilt $f(0)=-1$ und $g(0)=1$. Daher liegt $g$ zwischen den Schnittpunkten oben.
3. Differenz und Stammfunktion:
$$g(x)-f(x)=x+1-(x^2-1)=-x^2+x+2$$
Eine Stammfunktion ist
$$H(x)=-\frac13x^3+\frac12x^2+2x.$$
4. Fläche:
$$A=\left[H(x)\right]_{-1}^{2}=H(2)-H(-1)=\frac92\,\text{FE}.$$
Die Abkürzung FE bedeutet Flächeneinheiten. Ohne vorgegebene Längeneinheit ist das die passende Einheit des Ergebnisses.
Beispiel mit einem Reihenfolgewechsel
Nun seien
$$f(x)=x^3-3x,\qquad g(x)=2x^2$$
auf $[-1;3]$ gegeben.
1. Schnittpunkte:
$$x^3-3x=2x^2$$
$$x^3-2x^2-3x=x(x-3)(x+1)=0$$
Damit sind $x=-1$, $x=0$ und $x=3$ die Schnittstellen. Der innere Schnittpunkt $x=0$ teilt die Fläche.
2. Reihenfolge prüfen: Für $x=-0{,}5$ ist $f(x)-g(x)\gt 0$, also liegt $f$ auf $[-1;0]$ oben. Für $x=1$ ist $f(x)-g(x)\lt 0$, also liegt $g$ auf $[0;3]$ oben.
3. Stammfunktion: Für
$$h(x)=f(x)-g(x)=x^3-2x^2-3x$$
ist
$$H(x)=\frac14x^4-\frac23x^3-\frac32x^2$$
eine Stammfunktion.
4. Teilflächen:
$$A_1=\left|\left[H(x)\right]_{-1}^{0}\right|=\frac7{12}$$
$$A_2=\left|\left[H(x)\right]_{0}^{3}\right|=\frac{45}{4}$$
5. Gesamtfläche:
$$A=A_1+A_2=\frac7{12}+\frac{45}{4}=\frac{71}{6}\,\text{FE}.$$
Typische Fehler gezielt vermeiden
Die zweite Funktion nicht einklammern
Schreibe beim Bilden der Differenz immer die ganze zweite Funktion in Klammern:
$$f(x)-g(x)=x^2-(2x-2)=x^2-2x+2.$$
Ohne Klammer würdest du das Vorzeichen der $-2$ falsch behandeln.
Nur die äußeren Schnittpunkte verwenden
Jeder innere Schnittpunkt kann einen Reihenfolgewechsel anzeigen. Sortiere daher alle Schnittstellen im Intervall und prüfe jeden Abschnitt.
Integralwert und Fläche verwechseln
Ein negativer Integralwert ist kein negativer Flächeninhalt. Verwende oben minus unten oder bilde für jeden Abschnitt einzeln den Betrag.
Lösungen der Schnittgleichung ungeprüft übernehmen
Behalte nur reelle Lösungen im betrachteten Intervall. Durch Einsetzen in $f(x)=g(x)$ kannst du Rechenfehler erkennen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für einen geometrischen Flächeninhalt integrierst du in jedem Teilintervall minus . An einem inneren kann sich diese Reihenfolge ändern. Die positiven werden am Ende addiert.
Jetzt rechnest du selbst
Gegeben sind $f(x)=2-x^2$ und $g(x)=x$. Berechne die vollständig eingeschlossene Fläche zwischen ihren Graphen.
Gehe dabei so vor: Schnittpunkte bestimmen, obere Funktion prüfen, Differenz bilden, Stammfunktion aufstellen und Fläche auswerten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Fläche zwischen zwei Graphen
- Vorbereiten: Schnittpunkte lösen und Grenzen sortieren
- Entscheiden: in jedem Abschnitt oben und unten prüfen
- Rechnen: Differenz integrieren und Stammfunktion auswerten
- Absichern: Teilflächen positiv zählen und addieren