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Integralrechnung: Integrale verstehen und berechnen
Mit einem Integral kannst du viele kleine Beiträge zu einem Gesamtwert zusammenfassen. So berechnest du zum Beispiel eine Flächenbilanz oder rekonstruierst aus einer Zuflussrate die hinzugekommene Wassermenge.
Auf dieser Seite lernst du, wie Rechtecksummen zum Integral führen, wie du Stammfunktionen bildest und wie du bestimmte Integrale richtig deutest.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie werden viele kleine Beiträge zu einem Integral?
Stell dir die Fläche unter einem Funktionsgraphen als Summe schmaler Rechtecke vor. Jedes Rechteck besitzt näherungsweise den Inhalt
$$\text{Breite}\cdot\text{Höhe}.$$
Die Summe solcher Produkte heißt Produktsumme. Werden die Teilintervalle immer schmaler, nähert sich die Rechtecksumme dem bestimmten Integral.
Bestimmtes Integral
Das bestimmte Integral $\int_a^b f(x)\,dx$ fasst die Beiträge von $f$ zwischen der unteren Grenze $a$ und der oberen Grenze $b$ zusammen. Beiträge oberhalb der $x$-Achse zählen positiv, Beiträge darunter negativ.
Das Integralzeichen $\int$ erinnert an ein lang gezogenes S für „Summe“. Die Schreibweise $dx$ kennzeichnet die Integrationsvariable und steht anschaulich für die immer schmaler betrachteten Abschnitte auf der $x$-Achse.
Für $f(x)=2x$ auf $[0,2]$ teilen wir das Intervall in vier Abschnitte der Breite $0{,}5$.
Da die Funktion steigt, liefern die linken Randwerte $0,1,2,3$ eine Untersumme:
$$U_4=0{,}5\cdot(0+1+2+3)=3.$$
Die rechten Randwerte $1,2,3,4$ liefern eine Obersumme:
$$O_4=0{,}5\cdot(1+2+3+4)=5.$$
Der gesuchte Integralwert liegt also zwischen $3$ und $5$. Mit immer schmaleren Rechtecken nähern sich beide Summen dem Wert $4$.
Wie findest du eine Stammfunktion?
Stammfunktion
Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn $F'(x)=f(x)$ gilt. Du kannst das Ergebnis einer Integration deshalb durch Ableiten prüfen.
Für $f(x)=2x$ ist zum Beispiel $F(x)=x^2$ eine Stammfunktion, denn $(x^2)'=2x$.
Auch $x^2+1$ und $x^2-5$ sind Stammfunktionen. Beim Ableiten verschwindet jede additive Konstante. Daher lautet das unbestimmte Integral
$$\int 2x\,dx=x^2+c.$$
Das unbestimmte Integral ist also eine Funktionenschar und keine einzelne Zahl.
Für Potenzen gilt
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\qquad\text{für }n\ne-1.$$
Du erhöhst den Exponenten um $1$ und teilst durch den neuen Exponenten. Konstante Faktoren bleiben als Faktoren erhalten, und Summen werden gliedweise integriert.
Gesucht ist eine Stammfunktion zu $f(x)=4x^3+5x$.
$$\int(4x^3+5x)\,dx=x^4+2{,}5x^2+c.$$
Die Probe bestätigt das Ergebnis:
$$(x^4+2{,}5x^2+c)'=4x^3+5x.$$
Die Potenzregel gilt nicht für $n=-1$, weil dann durch $0$ geteilt würde. Auf einem Intervall, das $0$ nicht enthält, gilt stattdessen $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+c$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Das unbestimmte Integral ist eine . Eine Stammfunktion $F$ erfüllt . Die additive Konstante heißt .
Wie berechnest du ein bestimmtes Integral?
Beim bestimmten Integral sind die Grenzen festgelegt. Nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung gilt für jede Stammfunktion $F$ von $f$:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$
Gehe in drei Schritten vor:
- Bestimme eine Stammfunktion $F$.
- Setze zuerst die obere und dann die untere Grenze ein.
- Berechne $F(b)-F(a)$ und deute das Ergebnis im Kontext.
Oben minus unten: $F(b)-F(a)$. Die Integrationskonstante kannst du beim bestimmten Integral weglassen, weil sie sich in $(F(b)+c)-(F(a)+c)$ aufhebt.
Berechne $\int_0^2 2x\,dx$.
Eine Stammfunktion ist $F(x)=x^2$. Daher
$$\int_0^2 2x\,dx=[x^2]_0^2=2^2-0^2=4.$$
Das stimmt mit dem Grenzwert der Rechtecksummen aus dem ersten Kapitel überein. Weil $2x$ auf $[0,2]$ nicht negativ ist, ist $4$ zugleich der geometrische Flächeninhalt in Flächeneinheiten.
Wann ist das Integral nicht der geometrische Flächeninhalt?
Ein bestimmtes Integral ist eine orientierte Flächenbilanz:
- Oberhalb der $x$-Achse entstehen positive Beiträge.
- Unterhalb der $x$-Achse entstehen negative Beiträge.
- Positive und negative Beiträge können sich gegenseitig aufheben.
Ein geometrischer Flächeninhalt ist dagegen immer nicht negativ. Bei einem Vorzeichenwechsel musst du das Intervall an der Nullstelle teilen und die Beträge der Teilintegrale addieren.
Für $f(x)=x^3-4x$ liegen im Intervall $[-2,2]$ die Nullstellen $-2$, $0$ und $2$. Eine Stammfunktion ist
$$F(x)=\frac{x^4}{4}-2x^2.$$
Auf $[-2,0]$ ergibt sich
$$\int_{-2}^{0}(x^3-4x)\,dx=F(0)-F(-2)=4.$$
Auf $[0,2]$ ergibt sich
$$\int_0^2(x^3-4x)\,dx=F(2)-F(0)=-4.$$
Damit ist die orientierte Bilanz $4+(-4)=0$. Der geometrische Gesamtflächeninhalt beträgt dagegen
$$A=|4|+|-4|=8.$$
Bei zwei Graphen bestimmst du zuerst ihre Schnittpunkte. Innerhalb jedes Teilintervalls integrierst du obere Funktion minus untere Funktion. Wechselt die obere Funktion, musst du erneut teilen.
Wie rekonstruierst du einen Bestand aus einer Änderungsrate?
Eine Änderungsrate beschreibt, wie viel pro Zeiteinheit hinzukommt oder verloren geht. Ihr Integral über ein Zeitintervall liefert die gesamte Bestandsänderung.
Für eine Rate $r(t)$ zwischen $t=a$ und $t=b$ gilt:
$$\text{Bestandsänderung}=\int_a^b r(t)\,dt.$$
Ist der Anfangsbestand $B(a)$ bekannt, erhältst du den Endbestand mit
$$B(b)=B(a)+\int_a^b r(t)\,dt.$$
Ein anfangs leerer Behälter wird mit der Rate
$$r(t)=-t^2+20t$$
in Litern pro Minute gefüllt. Gesucht ist die Wassermenge nach $10$ Minuten.
Eine Stammfunktion der Rate ist
$$R(t)=-\frac{t^3}{3}+10t^2.$$
Damit beträgt die Bestandsänderung
$$\int_0^{10}(-t^2+20t)\,dt=R(10)-R(0)=\frac{2000}{3}\ \text{Liter}.$$
Das sind ungefähr $666{,}7$ Liter. Die Einheit passt: Liter pro Minute mal Minuten ergibt Liter. Weil der Behälter anfangs leer ist, entspricht die Bestandsänderung hier dem Endbestand.
Eine variable obere Grenze erzeugt eine Integralfunktion:
$$I(x)=\int_a^x f(t)\,dt.$$
Dabei ist $t$ nur die Integrationsvariable, während $x$ die obere Grenze bezeichnet. Es gilt $I(a)=0$ und, für stetiges $f$, $I'(x)=f(x)$. Die Integralfunktion sammelt also die Beiträge von der festen Startstelle $a$ bis zur veränderlichen Stelle $x$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Integralrechnung
- Rechtecksummen nähern das bestimmte Integral an
- Stammfunktionen kehren das Ableiten um
- Der Hauptsatz liefert $F(b)-F(a)$
- Vorzeichen bestimmen die orientierte Flächenbilanz
- Beträge getrennter Teilintegrale liefern geometrische Flächen
- Integrierte Änderungsraten ergeben Bestandsänderungen
- Integralfunktionen sammeln Beiträge bis zu einer variablen Grenze
Abschluss-Check
Prüfe bei jeder Integralaufgabe zum Schluss drei Dinge: Passt die Einheit? Ist das Vorzeichen im Kontext sinnvoll? Wurde eine Bilanz oder ein geometrischer Flächeninhalt verlangt?