Integralrechnung

Wenn sich eine Geschwindigkeit ständig ändert, reicht ein einzelnes Rechteck nicht mehr aus, um eine Strecke zu finden. Die Integralrechnung sammelt viele kleine Beiträge und macht daraus Flächen, Bestände und Wirkungen.

    :::lernziele
    - Ich kann unbestimmte und bestimmte Integrale unterscheiden.

• Ich kann einfache Stammfunktionen bilden.

• Ich kann Flächen unter Graphen berechnen.

• Ich kann Vorzeichen und Grenzen beachten. :::

    ## Grundidee
  
    Ableiten fragt nach der momentanen Änderung. Integrieren geht in die Gegenrichtung: Aus der Änderungsrate wird wieder ein Bestand oder aus Funktionswerten wird eine Fläche.
  
    :::definition Integral
    Ein **Integral** fasst veränderliche Werte über ein Intervall zusammen. Das unbestimmte Integral sucht alle Stammfunktionen. Das bestimmte Integral liefert eine Zahl, oft eine orientierte Fläche.
    :::
  
    :::beispiel
    Für f(x)=3x^2+2x ist eine Stammfunktion F(x)=x^3+x^2, denn F'(x)=3x^2+2x. Allgemein schreibst du: Das Integral von 3x^2+2x ist x^3+x^2+C.
    :::
  
    :::merke
    Integralrechnung ist Umkehrung des Ableitens plus sauberes Einsetzen der Grenzen.
    :::
  
    :::quiz
    ?1 Was bedeutet das +C beim unbestimmten Integral?
    + Es steht für alle konstant verschobenen Stammfunktionen.
    - Es ist eine zusätzliche Grenze. => Grenzen gehören zum bestimmten Integral.
    ! Es steht für alle konstant verschobenen Stammfunktionen. ist richtig.
    ?2 Was ist das Integral von 0 bis 2 über x+1?
    + 4
    - 3 => Du musst die Stammfunktion an beiden Grenzen einsetzen.
    ! Achte auf die genaue Regel und prüfe dein Ergebnis.
    :::
  
    ## Methode Schritt für Schritt
  
    Beim bestimmten Integral setzt du die Grenzen in eine Stammfunktion ein: Integral von a bis b bedeutet F(b)-F(a). Das Ergebnis kann negativ sein, wenn der Graph unter der x-Achse liegt.
  
    :::beispiel
    Für das Integral von 0 bis 2 über f(x)=x+1 ist F(x)=x^2/2+x. Also F(2)-F(0)=2+2-0=4.
    :::
  
    :::lueckentext
    Beim bestimmten Integral rechnest du mit einer {*Stammfunktion|Ableitung} und bildest oben minus unten.
    ! Wenn du die Schlüsselwörter richtig zuordnest, passt auch die Rechenidee.
    :::

Prüfungsmodus

In Klassenarbeiten erkennst du das Thema oft nicht am Namen, sondern an der Aufgabe. Frage dich zuerst: Was ist gegeben, was ist gesucht, und welche Bedingung muss am Ende stimmen?

    ## Alles auf einen Blick

    :::karten
    unbestimmtes Integral => Familie von Stammfunktionen

bestimmtes Integral => Zahl zu einem Intervall orientierte Fläche => unter der x-Achse negativ :::

    :::mindmap
    Integralrechnung

Stammfunktion bestimmtes Integral Fläche Bestand aus Änderungsrate :::

    ## Abschluss-Check

    :::quiz
    ?1 Ein Graph liegt komplett unter der x-Achse. Was ist am bestimmten Integral besonders?
    + Es ist negativ, wenn du orientierte Fläche berechnest.
    - Es ist immer positiv. => Positive Flächeninhalte brauchen Betrag oder Aufteilen.
    ! Entscheide zuerst, welche Information wirklich gefragt ist.
    ?2 Was ist eine gute Probe?
    + Du setzt dein Ergebnis wieder in die Aufgabe oder die Bedeutung ein.
    - Du vergleichst nur, ob die Zahl schön aussieht. => Eine Probe muss zur Aufgabe passen.
    ! Eine Probe schützt dich vor Vorzeichen-, Stellenwert- und Einheitenfehlern.
    ?3 Wie gehst du bei einer gemischten Aufgabe vor?
    + Erst Thema erkennen, dann passende Regel wählen, dann rechnen und prüfen.
    - Sofort irgendeine Formel einsetzen. => Die Formel muss zur Situation passen.
    ! Diese Reihenfolge hilft besonders in Klassenarbeiten.
    :::

    ## Zusammenfassung

    Integrale verbinden Änderung und Bestand. Du bildest eine Stammfunktion, setzt Grenzen sauber ein und deutest das Ergebnis passend zur Aufgabe.