Stammfunktion einfach erklärt – Definition & Beispiele

Eine Stammfunktion ist das Rückwärtsdenken zur Ableitung. Wenn du ableitest und wieder bei der Ausgangsfunktion landest, hast du eine passende Stammfunktion gefunden.

Deine Lernziele

Ich kann den Begriff Stammfunktion erklären.
Ich kann die Potenzregel rückwärts anwenden.
Ich weiß, warum die Konstante $C$ dazugehört.
Ich kann eine Stammfunktion durch Ableiten prüfen.

Ableiten rückwärts

Beim Ableiten wird aus $x^3$ der Term $3x^2$. Eine Stammfunktion zu $3x^2$ ist deshalb $x^3$.

Definition

Stammfunktion

Eine Stammfunktion $F$ zu einer Funktion $f$ erfüllt $F'(x)=f(x)$.

Beispiel

$$ f(x)=3x^2+4 $$

passt

$$ F(x)=x^3+4x+C $$

Denn

$$ F'(x)=3x^2+4. $$

Merke

Prüfe jede Stammfunktion durch Ableiten.

Potenzregel rückwärts

Bei $x^n$ erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten. Das gilt für $n\ne -1$.

Definition

Unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral beschreibt die Menge aller Stammfunktionen und wird mit $+C$ geschrieben.

Beispiel

$$ \int x^4\,dx=\frac{x^5}{5}+C $$

$$ \int 6x\,dx=3x^2+C $$

Denn $(3x^2)'=6x$.

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Prüfungsmodus

In Aufgaben mit Summen integrierst du jeden Summanden einzeln. Faktoren bleiben als Faktoren erhalten.

Beispiel

$$ f(x)=4x^3-2x+7 $$

$$ F(x)=x^4-x^2+7x+C $$

Probe: $F'(x)=4x^3-2x+7$.

Merke

Nach dem Integrieren einmal ableiten: Wenn du wieder $f(x)$ erhältst, passt es.

Alles auf einen Blick

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Abschluss-Check

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Zusammenfassung

Stammfunktionen findest du durch rückwärtiges Ableiten. Die Probe ist einfach: Leite deine Stammfunktion ab und vergleiche mit der Ausgangsfunktion.