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Stammfunktion bilden: Regeln und Beispiele
Eine Stammfunktion macht das Ableiten rückgängig: $F$ ist eine Stammfunktion von $f$, wenn $F'(x)=f(x)$ gilt. Ist $F$ auf einem Intervall eine Stammfunktion von $f$, dann sind dort auch alle Funktionen der Form $F(x)+C$ Stammfunktionen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was ist eine Stammfunktion?
Beim Ableiten gehst du von $F$ zu $f$. Beim Integrieren suchst du den umgekehrten Weg:
$$F \xrightarrow{\text{Ableiten}} f$$
$$f \xrightarrow{\text{Integrieren}} F$$
Stammfunktion
Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn ihre Ableitung genau $f$ ergibt: $F'(x)=f(x)$.
Zum Beispiel ist $F(x)=x^2$ eine Stammfunktion von $f(x)=2x$, denn $(x^2)'=2x$.
Aber auch $x^2+3$, $x^2-7$ und $x^2+C$ haben die Ableitung $2x$. Deshalb bezeichnet
$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$
die ganze Familie der Stammfunktionen auf einem Intervall. Dieser Ausdruck heißt unbestimmtes Integral. $C$ ist die Integrationskonstante.
Wird die Menge aller Stammfunktionen auf einem Intervall gesucht, darf $+C$ nicht fehlen. Eine einzelne Stammfunktion erhältst du beispielsweise mit $C=0$.
Wie funktioniert die Potenzregel?
Für eine Potenz $x^n$ erhöhst du den Exponenten um $1$ und teilst durch diesen neuen Exponenten:
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\ne -1$$
Gesucht sind alle Stammfunktionen von $f(x)=x^2$.
- Erhöhe den Exponenten: Aus $2$ wird $3$.
- Teile durch den neuen Exponenten $3$.
- Ergänze die Integrationskonstante.
$$F(x)=\frac{1}{3}x^3+C$$
Kontrolle:
$$F'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3x^2=x^2$$
Die Ableitung stimmt mit $f(x)$ überein.
Die Regel gilt auch für konstante Funktionen. Du kannst etwa $5$ als $5x^0$ auffassen:
$$\int 5\,dx=5x+C$$
Brüche und Wurzeln lassen sich häufig zuerst als Potenzen schreiben. Danach kannst du die Potenzregel anwenden. Der Exponent $n=-1$ bleibt jedoch ausgeschlossen, weil sonst durch $0$ geteilt würde.
Wie integrierst du Summen und Faktoren?
Bei einer Summe oder Differenz integrierst du jedes Glied einzeln. Ein konstanter Faktor bleibt dabei erhalten.
Bestimme die Stammfunktionen von
$$f(x)=6x^2+5x.$$
Integriere beide Summanden getrennt:
$$\int 6x^2\,dx=6\cdot\frac{x^3}{3}=2x^3$$
$$\int 5x\,dx=5\cdot\frac{x^2}{2}=2{,}5x^2$$
Damit gilt:
$$F(x)=2x^3+2{,}5x^2+C$$
Die Kontrolle liefert
$$F'(x)=6x^2+5x.$$
Du brauchst nur eine gemeinsame Konstante $C$. Mehrere Konstanten am Ende der einzelnen Summanden lassen sich zu einer einzigen beliebigen Konstante zusammenfassen.
Welche wichtigen Grundstammfunktionen gibt es?
Einige Funktionen erkennst du direkt aus bekannten Ableitungen:
| Funktion $f(x)$ | Alle Stammfunktionen |
|---|---|
| $1$ | $x+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x)+C$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x)+C$ |
| $1/x$ auf einem Intervall ohne $0$ | $\ln\lvert x\rvert+C$ |
Achte beim Sinus auf das Minuszeichen: Die Ableitung von $-\cos(x)$ ist $\sin(x)$.
Der Ausdruck $1/x=x^{-1}$ ist der Ausnahmefall der Potenzregel. Auf jedem Intervall, das $0$ nicht enthält, verwendest du stattdessen den natürlichen Logarithmus:
$$\int \frac{1}{x}\,dx=\ln\lvert x\rvert+C$$
Bei einer linearen Veränderung im Exponenten musst du den zusätzlichen inneren Faktor ausgleichen. Beispielsweise gilt:
$$\int e^{3x-2}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x-2}+C$$
Denn beim Ableiten entsteht durch den Exponenten $3x-2$ der Faktor $3$, der den Faktor $1/3$ aufhebt.
Was verrät der Graph?
Der Funktionswert $f(x)$ ist die Steigung der Stammfunktion $F$ an derselben Stelle.
- Ist $f(x)>0$, steigt $F$.
- Ist $f(x)<0$, fällt $F$.
- Ist $f(x)=0$, hat $F$ dort eine waagerechte Tangente.
- Wechselt $f$ an einer Nullstelle das Vorzeichen, besitzt $F$ dort einen Hoch- oder Tiefpunkt.
Die Integrationskonstante $C$ verschiebt den Graphen von $F$ nur nach oben oder unten. Form und Steigungen ändern sich nicht.
Auch in Sachzusammenhängen ist diese Beziehung wichtig: Beschreibt $f$ eine Änderungsrate, dann beschreibt eine Stammfunktion $F$ den dazugehörigen Bestand bis auf einen konstanten Anfangswert.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Stammfunktion
- Erkennungsmerkmal: $F'(x)=f(x)$
- Familie auf einem Intervall: $F(x)+C$
- Potenzen: Exponent erhöhen und teilen
- Ausnahme: $1/x$ führt auf Intervallen ohne $0$ zu $\ln\lvert x\rvert+C$
- Summen: gliedweise integrieren
- Grundfunktionen: $e^x$, Sinus und Kosinus
- Kontrolle: Ergebnis ableiten
- Graph: $f$ beschreibt die Steigung von $F$
Abschluss-Check
Wenn du bei einer Stammfunktion unsicher bist, nutze immer dieselbe Kontrolle: Ableiten, vereinfachen und mit der Ausgangsfunktion vergleichen.