Mit Google fortfahren
Partielle Integration ist eine Methode für Integrale von Produkten. Sie wirkt am Anfang technisch, folgt aber einer klaren Idee: Ein Faktor wird abgeleitet, der andere integriert.
- Ich kann erkennen, wann partielle Integration sinnvoll ist.
- Ich kann die Formel anwenden.
- Ich kann $u$ und $v'$ passend wählen.
- Ich kann mein Ergebnis durch Ableiten prüfen.
Die Formel
Die partielle Integration entsteht aus der Produktregel der Ableitung. Sie hilft, wenn im Integral zwei Faktoren miteinander multipliziert werden.
Partielle Integration
Für passende Funktionen gilt \(\int u\cdot v'\,dx=u\cdot v-\int u'\cdot v\,dx\). Dabei wird \(u\) abgeleitet und \(v'\) integriert.
Berechne \(\int x\cdot e^x\,dx\).
Wähle \(u=x\) und \(v'=e^x\).
Dann ist \(u'=1\) und \(v=e^x\).
Wähle \(u\) oft so, dass es beim Ableiten einfacher wird.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Wahl von \(u\) und \(v'\)
Eine gute Wahl macht das neue Integral einfacher. Bei Produkten aus Polynom und Exponentialfunktion nimmt man oft das Polynom als \(u\).
Berechne \(\int x\cos(x)\,dx\).
\(u=x\), \(v'=\cos(x)\), also \(u'=1\), \(v=\sin(x)\).
Interaktiver Lückentext wird geladen ...
Prüfungsmodus
Nach dem Rechnen kannst du dein Ergebnis ableiten. Wenn wieder der ursprüngliche Integrand entsteht, ist die Stammfunktion richtig.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Alles auf einen Blick
Interaktive Mindmap wird geladen ...
Interaktive Lernkarten wird geladen ...
Zusammenfassung
Partielle Integration ist Produktregel rückwärts. Wähle \(u\) und \(v'\) bewusst, rechne die Formel sauber aus und prüfe dein Ergebnis durch Ableiten.