Partielle Integration: Formel, Beispiele und Übungen

Die Methode eignet sich besonders für Produkte wie

• Polynom mal trigonometrische Funktion, zum Beispiel $x\cos(x)$,
• Polynom mal Exponentialfunktion, zum Beispiel $xe^x$,
• algebraische Funktion mal Logarithmus, zum Beispiel $x\ln(x)$.

Auch eine einzelne Funktion kann als Produkt geschrieben werden. Bei $\ln(x)$ ergänzt du den Faktor $1$:

$$\ln(x)=1\cdot\ln(x).$$

Die Produktregel lautet

$$(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).$$

Integrierst du beide Seiten, erhältst du bis auf eine Integrationskonstante

$$u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx.$$

Stellst du nach dem zweiten Integral um und fasst die Integrationskonstanten zusammen, folgt die Formel der partiellen Integration:

$$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx+C.$$

In Kurzform:

$$\int u\,v'\,dx=uv-\int u'v\,dx+C.$$

Dabei wird $u$ abgeleitet und $v'$ integriert.

Für stetig differenzierbare Funktionen auf $[a,b]$ gilt beim bestimmten Integral:

$$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx.$$

Hier steht kein $+C$, weil ein bestimmtes Integral einen Zahlenwert liefert.

Gehe in vier Schritten vor:

1. Zerlege den Integranden in $u\cdot v'$.
2. Prüfe, ob $u'$ einfacher als $u$ wird.
3. Prüfe, ob du eine Stammfunktion $v$ zu $v'$ leicht bilden kannst.
4. Vergleiche das erwartete Restintegral mit der Ausgangsaufgabe.

Bei einem Polynom und einer Sinus-, Kosinus- oder Exponentialfunktion ist es meist günstig, das Polynom als $u$ zu wählen. Sein Grad sinkt beim Ableiten.

Die Merkhilfe LIATE schlägt folgende Reihenfolge für den abzuleitenden Faktor vor:

1. logarithmische Funktionen,
2. inverse trigonometrische Funktionen,
3. algebraische Funktionen wie Polynome,
4. trigonometrische Funktionen,
5. Exponentialfunktionen.

LIATE ist nur eine Faustregel. Entscheidend bleibt, ob das Restintegral tatsächlich einfacher wird.

Berechne

$$\int x\cos(x)\,dx.$$

Für das bestimmte Integral von $0$ bis $\pi$ setzt du die Grenzen in die Stammfunktion ein:

$$\int_0^\pi x\cos(x)\,dx=[x\sin(x)+\cos(x)]_0^\pi=-2.$$

Bei einem Polynom höheren Grades reicht ein Schritt oft nicht. Betrachte

$$\int x^2\cos(x)\,dx.$$

Nach der ersten partiellen Integration erhältst du

$$\int x^2\cos(x)\,dx=x^2\sin(x)-\int 2x\sin(x)\,dx.$$

Das Restintegral enthält noch das Produkt $2x\sin(x)$. Deshalb integrierst du erneut partiell:

$$\int 2x\sin(x)\,dx=-2x\cos(x)+2\sin(x).$$

Einsetzen ergibt

$$\int x^2\cos(x)\,dx=x^2\sin(x)+2x\cos(x)-2\sin(x)+C.$$

Beim Ableiten sinkt der Polynomgrad von $2$ auf $1$ und anschließend auf $0$. Danach bleibt kein Produkt mit einem Polynom mehr übrig.

Eine einzelne Funktion als Produkt

Für $x>0$ kannst du $\ln(x)$ als $1\cdot\ln(x)$ schreiben. Wähle

$$u=\ln(x),\qquad v'=1,$$

also

$$u'=\frac1x,\qquad v=x.$$

Damit folgt

$$\int\ln(x)\,dx=x\ln(x)-\int1\,dx=x\ln(x)-x+C.$$

Das Ausgangsintegral erscheint erneut

Bei manchen Aufgaben steht nach der partiellen Integration wieder das ursprüngliche Integral in der Gleichung. Dann ist die Rechnung nicht gescheitert: Behandle das Integral wie eine unbekannte Größe, bringe alle Vorkommen auf eine Seite und löse die Gleichung.

Typische Fehler

• Ungünstige Faktorwahl: Das Restintegral wird schwieriger statt einfacher.
• Vorzeichenfehler: Vor dem Restintegral steht ein Minuszeichen.
• Falsche Stammfunktion: Prüfe besonders die Vorzeichen bei Sinus und Kosinus.
• Fehlendes $+C$: Jede unbestimmte Stammfunktion benötigt eine Integrationskonstante.
• Grenzen falsch behandelt: Bei bestimmten Integralen gilt der Randterm $[uv]_a^b$; ein $+C$ ist dort nicht nötig.

Du beherrschst die Methode, wenn du vor dem Rechnen begründen kannst, warum deine Faktorwahl das Restintegral vereinfacht, und dein Ergebnis anschließend durch Ableiten bestätigst.