Integration durch Substitution

Manche Integrale sehen kompliziert aus, weil eine Funktion in einer anderen steckt. Die Substitution ersetzt den inneren Ausdruck vorübergehend durch eine einfachere Variable.

    :::lernziele
    - Ich kann verkettete Funktionen erkennen.

• Ich kann eine passende Substitution wählen.

• Ich kann dx korrekt mit umformen.

• Ich kann zurücksubstituieren. :::

    ## Grundidee
  
    Die Methode ist die Umkehridee zur Kettenregel. Wenn im Integral ein innerer Term und seine Ableitung als Faktor auftauchen, ist Substitution oft passend.
  
    :::definition Integration durch Substitution
    Bei der **Integration durch Substitution** ersetzt du einen inneren Term durch eine neue Variable, damit das Integral einfacher wird.
    :::
  
    :::beispiel
    Bei Integral 2x cos(x^2) dx wählst du u=x^2. Dann ist du=2x dx. Das Integral wird zu Integral cos(u) du = sin(u)+C, also sin(x^2)+C.
    :::
  
    :::merke
    Substitution funktioniert nur sauber, wenn am Ende kein altes x im u-Integral übrig bleibt.
    :::
  
    :::quiz
    ?1 Warum passt bei 2x cos(x^2) die Substitution u=x^2?
    + Weil die Ableitung 2x als Faktor vorhanden ist.
    - Weil cos immer schwierig ist. => Entscheidend ist der innere Term plus Ableitung.
    ! Weil die Ableitung 2x als Faktor vorhanden ist. ist richtig.
    ?2 Was ist eine Stammfunktion von 2x(x^2+1)^3?
    + (x^2+1)^4/4
    - (x^2+1)^3 => Nach der Substitution integrierst du u^3 zu u^4/4.
    ! Achte auf die genaue Regel und prüfe dein Ergebnis.
    :::
  
    ## Methode Schritt für Schritt
  
    Wähle u, bilde du, ersetze alles im Integral, integriere in u und setze am Ende den ursprünglichen Term zurück.
  
    :::beispiel
    Bei Integral 2x(x^2+1)^3 dx wählst du u=x^2+1. Dann wird daraus Integral u^3 du = u^4/4 + C = (x^2+1)^4/4 + C.
    :::
  
    :::lueckentext
    Substitution ist besonders passend bei einer verketteten Funktion und der {*Ableitung|Nullstelle} des inneren Terms.
    ! Wenn du die Schlüsselwörter richtig zuordnest, passt auch die Rechenidee.
    :::

Prüfungsmodus

In Klassenarbeiten erkennst du das Thema oft nicht am Namen, sondern an der Aufgabe. Frage dich zuerst: Was ist gegeben, was ist gesucht, und welche Bedingung muss am Ende stimmen?

    ## Alles auf einen Blick

    :::karten
    u wählen => innerer Term

du bilden => Ableitung beachten zurücksetzen => wieder mit x schreiben :::

    :::mindmap
    Substitution

innerer Term Ableitung ersetzen integrieren zurücksubstituieren :::

    ## Abschluss-Check

    :::quiz
    ?1 Was ist ein Warnsignal bei der Substitution?
    + Im neuen Integral bleibt noch ein x übrig.
    - Das Integral wird kürzer. => Alle alten Variablen müssen ersetzt sein.
    ! Entscheide zuerst, welche Information wirklich gefragt ist.
    ?2 Was ist eine gute Probe?
    + Du setzt dein Ergebnis wieder in die Aufgabe oder die Bedeutung ein.
    - Du vergleichst nur, ob die Zahl schön aussieht. => Eine Probe muss zur Aufgabe passen.
    ! Eine Probe schützt dich vor Vorzeichen-, Stellenwert- und Einheitenfehlern.
    ?3 Wie gehst du bei einer gemischten Aufgabe vor?
    + Erst Thema erkennen, dann passende Regel wählen, dann rechnen und prüfen.
    - Sofort irgendeine Formel einsetzen. => Die Formel muss zur Situation passen.
    ! Diese Reihenfolge hilft besonders in Klassenarbeiten.
    :::

    ## Zusammenfassung

    Substitution macht verkettete Integrale übersichtlicher. Du ersetzt konsequent, integrierst einfacher und setzt am Ende zurück.