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Integration durch Substitution: Anleitung und Beispiele
Bei der Integration durch Substitution ersetzt du eine geeignete innere Funktion durch eine neue Variable. So machst du die Kettenregel rückwärts: Aus einem verschachtelten Integral wird eine bekannte Grundform.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann passt die Substitution?
Suche zuerst nach einer inneren Funktion $g(x)$, die in einer anderen Funktion steckt. Prüfe dann, ob ihre Ableitung $g'(x)$ ebenfalls als Faktor vorkommt — vollständig oder bis auf einen konstanten Faktor.
Substitutionsregel
Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann gilt
$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C.$$
Du setzt $u=g(x)$ und schreibst als Rechenhilfe $du=g'(x)\,dx$. Die eigentliche Begründung liefert die Kettenregel: $(F(g(x)))'=f(g(x))g'(x)$.
Ein schneller Strukturtest hilft:
- Markiere einen möglichen inneren Ausdruck $g(x)$.
- Leite ihn ab.
- Vergleiche $g'(x)$ mit den übrigen Faktoren.
- Entscheide, ob nur ein konstanter Faktor fehlt.
Beim Integral $\int x\cos(x^2)\,dx$ ist $g(x)=x^2$ und $g'(x)=2x$. Im Integranden steht nur $x$, also die Hälfte von $2x$. Der fehlende konstante Faktor lässt sich ausgleichen:
$$\int x\cos(x^2)\,dx=\frac12\int 2x\cos(x^2)\,dx.$$
So gehst du Schritt für Schritt vor
Bei einem unbestimmten Integral funktioniert dieses Schema:
- Wähle $u=g(x)$.
- Bestimme $du=g'(x)\,dx$.
- Gleiche einen fehlenden konstanten Faktor aus.
- Schreibe das gesamte Integral in $u$ und $du$ um. Es darf kein unerklärtes $x$ übrig bleiben.
- Integriere in $u$.
- Setze $u=g(x)$ zurück und ergänze $+C$.
- Leite dein Ergebnis zur Kontrolle ab.
$du=g'(x)\,dx$ ist eine nützliche Rechenschreibweise. $dx$ und $du$ sind dabei keine gewöhnlichen Zahlenbrüche. Fachlich abgesichert ist das Verfahren durch die Kettenregel.
Eine Substitution ist nicht schon deshalb gut, weil du einen Ausdruck ersetzen kannst. Sie ist gut, wenn danach ein einfacheres Integral vollständig in der neuen Variablen entsteht.
Unbestimmte Integrale vollständig lösen
Berechne
$$\int 3x^2e^{x^3}\,dx.$$
Setze $u=x^3$. Dann ist $du=3x^2\,dx$. Damit wird das gesamte Integral zu
$$\int e^u\,du=e^u+C.$$
Jetzt rücksubstituierst du:
$$\int 3x^2e^{x^3}\,dx=e^{x^3}+C.$$
Die Probe mit der Kettenregel ergibt
$$\frac{d}{dx}e^{x^3}=e^{x^3}\cdot3x^2.$$
Damit stimmt die Ableitung mit dem ursprünglichen Integranden überein.
Fehlt nur ein konstanter Faktor, darfst du ihn gezielt ausgleichen:
$$\int x\cos(x^2)\,dx=\frac12\int 2x\cos(x^2)\,dx.$$
Mit $u=x^2$ und $du=2x\,dx$ folgt
$$\frac12\int\cos u\,du=\frac12\sin u+C=\frac12\sin(x^2)+C.$$
Bestimmte Integrale: Wähle einen von zwei Wegen
Bei $\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx$ kannst du konsequent zwischen zwei Wegen wählen:
- Neue Grenzen: Rechne $u=g(a)$ und $u=g(b)$ aus und bleibe danach vollständig in $u$.
- Rücksubstitution: Bestimme zunächst eine Stammfunktion in $u$, setze $u=g(x)$ zurück und verwende erst dann die alten $x$-Grenzen.
Berechne
$$\int_0^1\frac{3x^2}{x^3+1}\,dx.$$
Setze $u=x^3+1$ und $du=3x^2\,dx$. Die neuen Grenzen sind
$$x=0\Rightarrow u=1,\qquad x=1\Rightarrow u=2.$$
Damit gilt
$$\int_0^1\frac{3x^2}{x^3+1}\,dx=\int_1^2\frac1u\,du=[\ln|u|]_1^2=\ln2.$$
Auf dem Intervall $[1,2]$ ist $u>0$, daher ist $\ln|u|=\ln u$. Mit dem zweiten Weg erhältst du dieselbe Zahl:
$$[\ln(x^3+1)]_0^1=\ln2-\ln1=\ln2.$$
Mische die Wege nicht: In einem $u$-Integral stehen keine alten $x$-Grenzen. Nach einer Rücksubstitution verwendest du dagegen die ursprünglichen $x$-Grenzen.
Typische Fehler erkennen und Ergebnisse prüfen
Vier Kontrollen fangen die häufigsten Fehler ab:
- Vollständiger Variablenwechsel: Nach dem Umschreiben stehen nur noch $u$ und $du$ im Integral.
- Konstanter Faktor: Vergleiche $g'(x)$ genau mit dem vorhandenen Faktor.
- Grenzen: Verwende entweder neue Grenzen oder Rücksubstitution mit alten Grenzen.
- Probe: Leite die gefundene Stammfunktion mit der Kettenregel ab.
Beim logarithmischen Sonderfall musst du außerdem den Betrag beachten:
$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$$
auf Intervallen, auf denen $f(x)\ne0$ gilt. Zum Beispiel ist
$$\int\frac{2x}{1+x^2}\,dx=\ln(1+x^2)+C,$$
weil $1+x^2$ für alle reellen $x$ positiv ist. Die Ableitung von $\ln(1+x^2)$ ist nach der Kettenregel $\frac{2x}{1+x^2}$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Integration durch Substitution
- erkennen: innere Funktion und Ableitung
- umformen: $u=g(x)$ und $du=g'(x)\,dx$
- ausgleichen: fehlende konstante Faktoren
- integrieren: vollständig in der neuen Variablen
- abschließen: rücksubstituieren oder Grenzen transformieren
- prüfen: Kettenregel und Definitionsbereich