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Integrieren ist das Rückwärtsdenken zur Ableitung. Mit wenigen Grundregeln kannst du viele Stammfunktionen finden und Flächen unter Graphen berechnen.
Was du nach dieser Seite kannst
- Ich kann Stammfunktion und Integral unterscheiden.
- Ich kann die Potenzregel anwenden.
- Ich kann Summen und konstante Faktoren integrieren.
- Ich kann eine Stammfunktion durch Ableiten prüfen.
- Ich erkenne einfache Grenzen der Regeln.
Stammfunktionen finden
Eine Stammfunktion \(F\) gehört zu einer Funktion \(f\), wenn \(F'(x)=f(x)\) gilt. Integrieren bedeutet oft: Finde eine solche Funktion \(F\).
Stammfunktion
Eine Stammfunktion von \(f\) ist eine Funktion \(F\) mit \(F'=f\). Beim unbestimmten Integral schreibt man \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\).
Gesucht ist \(\int x^3\,dx\).
Erhöhe den Exponenten um 1 und teile durch den neuen Exponenten:
\(\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C\).
Probe: \((\frac{x^4}{4})'=x^3\).
Die Integrationskonstante \(C\) gehört beim unbestimmten Integral dazu.
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Summen und Faktoren
Du darfst Summen gliedweise integrieren und konstante Faktoren vor dem Integral stehen lassen.
\(\int (6x^2-4x+5)\,dx = 6\cdot\frac{x^3}{3}-4\cdot\frac{x^2}{2}+5x+C\).
Also \(2x^3-2x^2+5x+C\).
Probe durch Ableiten ergibt wieder \(6x^2-4x+5\).
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Prüfungsmodus
Die Potenzregel gilt nicht direkt für \(x^{-1}\). Dafür brauchst du \(\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\).
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Integrationsregeln helfen dir, Stammfunktionen systematisch zu finden. Die wichtigste Kontrolle ist immer das Ableiten deines Ergebnisses.