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Integrationsregeln: Stammfunktionen sicher bilden
Integrationsregeln helfen dir, zu einer gegebenen Funktion eine Stammfunktion zu finden. Dabei ist Integrieren die Umkehrung des Ableitens: Ist $F'(x)=f(x)$, dann ist $F$ eine Stammfunktion von $f$. Bei einem unbestimmten Integral gehört immer eine Integrationskonstante $C$ dazu.
Auf dieser Seite lernst du, Grundregeln auszuwählen, bestimmte Integrale zu berechnen und dein Ergebnis durch Ableiten zu kontrollieren.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Stammfunktion und Integrationskonstante verstehen
Stammfunktion
Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn $F'(x)=f(x)$ gilt. Das unbestimmte Integral bezeichnet alle Stammfunktionen:
$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$
Die beliebige Zahl $C$ heißt Integrationskonstante.
Warum ist $C$ nötig? Beim Ableiten verschwindet jede Konstante. Deshalb haben zum Beispiel $x^2$, $x^2+1$ und $x^2-3$ alle dieselbe Ableitung $2x$.
Gesucht ist das unbestimmte Integral von $2x$.
$$\int 2x\,dx=x^2+C$$
Die Kontrolle bestätigt das Ergebnis: $(x^2+C)'=2x$, weil $C'=0$ ist.
Beim unbestimmten Integral schreibst du $+C$. Durch Ableiten erkennst du, ob deine Stammfunktion zum Integranden passt.
Grundregeln für Summen und Potenzen anwenden
Bei Polynomen zerlegst du den Integranden in einzelne Terme. Konstanten darfst du vor das Integral ziehen.
Potenzregel
Für $n\ne-1$ gilt:
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$
Du erhöhst den Exponenten um $1$ und teilst durch den neuen Exponenten. Für $n=-1$ wäre der Nenner $0$; deshalb gilt diese Regel nicht für $1/x$.
Faktor-, Summen- und Differenzregel
$$\int c\,f(x)\,dx=c\int f(x)\,dx$$
$$\int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$$
Bei einer Differenz integrierst du ebenfalls gliedweise und behältst das Minuszeichen bei.
Berechne $\int(3x^2-4x^3)\,dx$.
- Zerlege die Differenz und behalte die Faktoren bei.
- Integriere $x^2$ zu $x^3/3$ und $x^3$ zu $x^4/4$.
- Vereinfache die konstanten Faktoren.
$$\int(3x^2-4x^3)\,dx=3\cdot\frac{x^3}{3}-4\cdot\frac{x^4}{4}+C=x^3-x^4+C$$
Kontrolle:
$$(x^3-x^4+C)'=3x^2-4x^3$$
Auch bekannte Grundstammfunktionen lassen sich mit der Faktorregel verbinden:
$$\int 2\cos(x)\,dx=2\sin(x)+C$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Integrieren von $x^3$ wird der neue Exponent zu . Daher ist eine Stammfunktion . Bei einem unbestimmten Integral ergänzt du .
Vertiefung: Die passende Methode erkennen
Nicht jeder Integrand ist eine Summe von Potenzen. Die Struktur zeigt dir, welche Methode du prüfen solltest:
- Substitution: Eine innere Funktion und ihre Ableitung treten gemeinsam auf.
- Partielle Integration: Ein Produkt wird einfacher, wenn du einen Faktor ableitest und den anderen integrierst.
- Logarithmische Integration: Ein Bruch hat die Form $f'(x)/f(x)$.
Substitution
Bei der Grundform
$$\int f(g(x))g'(x)\,dx$$
setzt du $u=g(x)$ und damit $du=g'(x)\,dx$. Du integrierst nach $u$ und ersetzt danach $u$ wieder durch $g(x)$.
Berechne $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$.
Setze $u=x^2+1$. Dann ist $du=2x\,dx$. Das Integral wird zu
$$\int u^3\,du=\frac14u^4+C$$
Nach der Rücksubstitution erhältst du
$$\frac14(x^2+1)^4+C$$
Die Ableitung ist $2x(x^2+1)^3$ und bestätigt das Ergebnis.
Partielle Integration
Aus der Produktregel des Ableitens folgt
$$\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx$$
Die Methode ist nützlich, wenn das verbleibende Integral einfacher wird.
Für $\int x\cos(x)\,dx$ wähle $f(x)=x$ und $g'(x)=\cos(x)$. Dann sind $f'(x)=1$ und $g(x)=\sin(x)$.
$$\int x\cos(x)\,dx=x\sin(x)-\int\sin(x)\,dx=x\sin(x)+\cos(x)+C$$
Durch Ableiten entsteht wieder $x\cos(x)$.
Logarithmische Integration
Wenn der Zähler die Ableitung des Nenners ist, gilt auf jedem passenden Definitionsintervall:
$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$$
Da $(x^3-x^4)'=3x^2-4x^3$, gilt dort, wo der Nenner nicht null ist:
$$\int\frac{3x^2-4x^3}{x^3-x^4}\,dx=\ln|x^3-x^4|+C$$
Bestimmte Integrale exakt berechnen
Ein bestimmtes Integral hat Grenzen und ergibt eine Zahl. Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann gilt der Hauptsatz:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$
Du setzt zuerst die obere, dann die untere Grenze in dieselbe Stammfunktion ein. Ein $+C$ hebt sich bei der Subtraktion auf.
Berechne $\int_0^2(3x^2-2x)\,dx$.
Eine Stammfunktion ist $F(x)=x^3-x^2$. Daher:
$$\int_0^2(3x^2-2x)\,dx=F(2)-F(0)=(8-4)-(0-0)=4$$
Das bestimmte Integral hat den Wert $4$.
Für Integrationsgrenzen gelten drei wichtige Regeln:
$$\int_a^a f(x)\,dx=0$$
$$\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$$
$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$$
Ein bestimmtes Integral ist eine orientierte Flächenbilanz. Bereiche oberhalb der $x$-Achse zählen positiv, Bereiche darunter negativ. Für einen geometrischen Gesamtflächeninhalt musst du an Nullstellen aufteilen und die Beträge der Teilintegrale addieren.
Fehler vermeiden und Ergebnisse prüfen
Diese vier Prüfungen fangen viele Rechenfehler ab:
- Struktur prüfen: Ist der Integrand eine Summe, ein Produkt, eine Verkettung oder ein Quotient der Form $f'/f$?
- Bedingung prüfen: Bei der Potenzregel muss $n\ne-1$ gelten; bei Brüchen darf der Nenner im betrachteten Bereich nicht null sein.
- Konstante prüfen: Beim unbestimmten Integral gehört $+C$ dazu. Beim bestimmten Integral setzt du Grenzen ein.
- Ableiten: Die Ableitung deiner Stammfunktion muss wieder der ursprüngliche Integrand sein.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Integrationsregeln
- Unbestimmtes Integral
- Stammfunktionsfamilie $F+C$
- Kontrolle durch Ableiten
- Grundregeln
- Potenz-, Faktor-, Summen- und Differenzregel
- Methoden nach Struktur
- Substitution bei innerer Funktion mit Ableitung
- Partielle Integration bei geeignetem Produkt
- Logarithmus bei $f'/f$
- Bestimmtes Integral
- Hauptsatz $F(b)-F(a)$
- Grenzen und Teilintervalle beachten
- Unbestimmtes Integral