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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz verbindet Ableiten und Integrieren: Eine Integralfunktion liefert eine Stammfunktion, und mit einer Stammfunktion kannst du ein bestimmtes Integral exakt berechnen. Statt immer feinere Rechtecke zu addieren, wertest du die Stammfunktion an den Grenzen aus.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie verbindet der Hauptsatz Ableitung und Integral?
Eine Stammfunktion von $f$ ist eine differenzierbare Funktion $F$ mit
$$F'(x)=f(x).$$
Das Integrieren sucht also eine Funktion, deren Ableitung der vorgegebene Integrand ist. Ganz ohne Einschränkung sind Ableiten und Integrieren aber keine perfekten Umkehroperationen: Verschiedene Stammfunktionen können sich um eine Konstante unterscheiden.
Der Hauptsatz besteht in seiner üblichen Schulform aus zwei Teilen:
- Ist $f$ stetig, dann ist die Integralfunktion
$$A(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
eine Stammfunktion von $f$. Es gilt $A'(x)=f(x)$.
- Ist $F$ eine Stammfunktion der stetigen Funktion $f$, dann gilt
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$
Der erste Teil führt vom Integral zur Ableitung. Der zweite Teil führt von einer Stammfunktion zum Wert eines bestimmten Integrals.
Warum ist die Integralfunktion eine Stammfunktion?
Fixiere die untere Grenze $a$ und lasse die obere Grenze $x$ wandern:
$$A(x)=\int_a^x f(t)\,dt.$$
$A(x)$ sammelt die Integralwerte von $a$ bis $x$. Verschiebst du die obere Grenze um ein kleines Stück $h$, kommt das Integral über das kurze Intervall von $x$ bis $x+h$ hinzu:
$$A(x+h)-A(x)=\int_x^{x+h} f(t)\,dt.$$
Teilst du durch $h$, erhältst du den mittleren Funktionswert auf diesem kurzen Intervall:
$$\frac{A(x+h)-A(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt.$$
Wenn $h$ gegen null geht und $f$ bei $x$ stetig ist, nähert sich dieser Mittelwert dem Wert $f(x)$. Deshalb gilt
$$A'(x)=f(x).$$
Die Variable $t$ in der Integralschreibweise ist nur eine Integrationsvariable. Für die Integralfunktion ist $x$ die veränderliche obere Grenze.
Für $f(t)=t^2$ und die feste untere Grenze $0$ ist
$$A(x)=\int_0^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}.$$
Die Ableitung bestätigt den ersten Teil:
$$A'(x)=\left(\frac{x^3}{3}\right)'=x^2=f(x).$$
Wie berechnest du ein bestimmtes Integral?
Für die praktische Rechnung brauchst du den zweiten Teil des Hauptsatzes:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad F'=f.$$
Gehe in vier Schritten vor:
- Finde eine Stammfunktion $F$ des Integranden $f$.
- Prüfe durch Ableiten, ob wirklich $F'=f$ gilt.
- Setze zuerst die obere und dann die untere Grenze in dieselbe Stammfunktion ein.
- Berechne $F(b)-F(a)$ und prüfe das Ergebnis auf Plausibilität.
Berechne
$$\int_0^2 x^2\,dx.$$
Eine Stammfunktion von $f(x)=x^2$ ist
$$F(x)=\frac{x^3}{3},$$
denn $F'(x)=x^2$.
Nun werden beide Grenzen eingesetzt:
$$\int_0^2 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2$$
$$=F(2)-F(0)=\frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{8}{3}.$$
Das Ergebnis ist positiv und kleiner als die Fläche des Rechtecks mit Breite $2$ und Höhe $4$, also kleiner als $8$. Das passt zum Verlauf von $x^2$ auf $[0,2]$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Integral $\int_0^2 x^2\,dx$ suchst du zuerst eine . Danach setzt du die obere Grenze und die untere Grenze ein.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
Fehler 1: Die Grenzen vertauschen
Richtig ist immer
$$F(b)-F(a).$$
Bei $F(a)-F(b)$ erhältst du das Ergebnis mit falschem Vorzeichen.
Fehler 2: Den Integranden statt der Stammfunktion auswerten
Die Formel lautet nicht $f(b)-f(a)$. Du musst zuerst eine Stammfunktion $F$ bestimmen und dann $F(b)-F(a)$ berechnen.
Fehler 3: Die Stammfunktion nicht prüfen
Eine kurze Ableitungsprobe verhindert viele Fehler. Für $F(x)=x^3/3$ ergibt die Ableitung tatsächlich $F'(x)=x^2$.
Warum verschwindet die Konstante?
Alle Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine Konstante. Verwendest du $F(x)+C$, dann gilt
$$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a).$$
Das $C$ hebt sich auf. Beim bestimmten Integral musst du es deshalb nicht mitschreiben.
Warum funktioniert die Abkürzung mit den Randwerten?
Zerlege das Intervall $[a,b]$ in viele kleine Teilintervalle. Auf jedem Teilintervall beschreibt $f$ als Ableitung von $F$ die momentane Änderung von $F$. Die kleinen Änderungen von $F$ addieren sich:
$$F(x_1)-F(x_0)+F(x_2)-F(x_1)+\dots+F(x_n)-F(x_{n-1}).$$
Alle inneren Werte treten einmal positiv und einmal negativ auf. Sie heben sich auf. Übrig bleibt
$$F(b)-F(a).$$
Eine solche Summe heißt Teleskopsumme. Gleichzeitig nähern die kleinen Produkte aus Funktionswert und Intervallbreite das Integral an. Im Grenzwert liefern beide Beschreibungen denselben Wert.
Die Stetigkeit von $f$ ist eine einfache und wichtige Voraussetzung der üblichen Schulform. Für weiter gefasste Versionen des Hauptsatzes können andere Voraussetzungen genügen. Diese benötigen jedoch einen präziseren Integralbegriff.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Integralfunktion: $A(x)=\int_a^x f(t)\,dt$
- Ableitung der Integralfunktion: $A'(x)=f(x)$
- Stammfunktion: $F'(x)=f(x)$
- Bestimmtes Integral: $F(b)-F(a)$
- Rechenweg: Stammfunktion finden, prüfen, Grenzen einsetzen
- Fehlerkontrolle: obere minus untere Grenze
- Konstante: hebt sich in der Differenz auf
Abschluss-Check
Du beherrschst den Hauptsatz, wenn du beide Richtungen auseinanderhalten kannst: Die Ableitung einer Integralfunktion liefert den Integranden, und die Differenz zweier Stammfunktionswerte liefert das bestimmte Integral.