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Eine Integralfunktion sammelt Flächeninhalte, während sich die obere Grenze bewegt. Nach dieser Seite verstehst du den Zusammenhang zwischen Integralfunktion, Fläche und Stammfunktion.
- Ich kann erklären, was eine Integralfunktion ist.
- Ich kann orientierte Fläche deuten.
- Ich kann den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nutzen.
- Ich kann einfache Integralfunktionen berechnen.
- Ich kann Vorzeichen von Flächen interpretieren.
Grundidee
Die untere Grenze bleibt fest, die obere Grenze wandert. Dadurch wird aus vielen Flächenwerten eine neue Funktion.
Integralfunktion
Eine Integralfunktion hat meist die Form \(F_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt\). Sie ordnet jedem \(x\) den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f\) und der x-Achse von \(a\) bis \(x\) zu.
Sei \(f(t)=2t\) und \(F_0(x)=\int_0^x 2t\,dt\).
- Eine Stammfunktion zu \(2t\) ist \(t^2\).
- Setze die Grenzen ein: \(F_0(x)=x^2-0^2\).
- Also \(F_0(x)=x^2\).
Die gesammelte Fläche wächst quadratisch.
Nach dem Hauptsatz gilt: Wenn \(F_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt\), dann ist \(F_a'(x)=f(x)\).
Schritt für Schritt
Zum Berechnen suchst du eine Stammfunktion von \(f\), setzt obere und untere Grenze ein und subtrahierst: oben minus unten.
Berechne \(G_1(x)=\int_1^x 3t^2\,dt\).
- Stammfunktion zu \(3t^2\) ist \(t^3\).
- Obere Grenze: \(x^3\).
- Untere Grenze: \(1^3=1\).
- Also \(G_1(x)=x^3-1\).
Flächen unterhalb der x-Achse zählen beim bestimmten Integral negativ. Deshalb spricht man von orientiertem Flächeninhalt.
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Typische Fehler erkennen
Vergiss die untere Grenze nicht. Aus \(\int_1^x 3t^2\,dt\) wird nicht nur \(x^3\), sondern \(x^3-1\).
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Prüfungsmodus
Wenn die obere Grenze nicht nur \(x\), sondern zum Beispiel \(2x\) ist, brauchst du zusätzlich die Kettenregel. Bei der Standardform mit oberer Grenze \(x\) ist der Hauptsatz direkt.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
- Eine Integralfunktion sammelt orientierte Flächen.
- Sie hat eine feste untere und eine bewegliche obere Grenze.
- Nach dem Hauptsatz ist ihre Ableitung der Integrand.
- Beim Berechnen setzt du obere und untere Grenze in eine Stammfunktion ein.