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Integralfunktion: Hauptsatz, Ableitung und Graph
Eine Integralfunktion sammelt die orientierte Fläche von einem festen Basispunkt bis zu einer veränderlichen Stelle. Ist $f$ stetig, dann verrät der Hauptsatz sofort ihre Ableitung: Für $I_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ gilt $I_a'(x)=f(x)$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was macht die Grenze x veränderlich?
Stell dir vor, du startest bei $a$ und verschiebst die rechte Grenze bis $x$. Zu jeder neuen Position $x$ gehört ein neuer Integralwert. Deshalb entsteht nicht nur eine Zahl, sondern eine Funktion:
$$I_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
Integralfunktion
Die Zahl $a$ ist der feste Basispunkt. Die Zahl $x$ ist die variable obere Grenze und zugleich das Argument der Integralfunktion. Der Buchstabe $t$ ist nur die Integrationsvariable: Er läuft im Integral von $a$ bis $x$.
Am Basispunkt gilt immer
$$I_a(a)=\int_a^a f(t)\,dt=0.$$
Liegt $x\lt a$, sind die Grenzen in umgekehrter Reihenfolge. Dann gilt
$$\int_a^x f(t)\,dt=-\int_x^a f(t)\,dt.$$
Das Integral ist eine orientierte Flächenbilanz: Beiträge oberhalb der $x$-Achse zählen positiv, Beiträge unterhalb negativ. Es ist daher nicht automatisch der geometrische Flächeninhalt.
Wie berechnest du eine Integralfunktion?
Bestimme zuerst eine Stammfunktion $F$ von $f$, also $F'=f$. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert dann
$$I_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt=F(x)-F(a).$$
Eine Integrationskonstante brauchst du hier nicht: Würdest du $F+C$ einsetzen, würde sich $C$ in $(F(x)+C)-(F(a)+C)$ aufheben.
Gegeben sind $f(t)=2t-4$ und der Basispunkt $a=1$. Eine Stammfunktion ist $F(t)=t^2-4t$.
$$I_1(x)=\int_1^x (2t-4)\,dt$$
$$I_1(x)=F(x)-F(1)=x^2-4x-(1-4)$$
$$I_1(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$
Die Probe am Basispunkt passt: $I_1(1)=0$. Außerdem ergibt Ableiten $I_1'(x)=2x-4=f(x)$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $I_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ setzt du in eine Stammfunktion zuerst die und danach den ein. Es gilt also $I_a(x)=$. Am Basispunkt ist der Funktionswert stets .
Warum ist die Ableitung wieder f?
Wenn $f$ auf einem Intervall $J$ stetig ist und $a\in J$ gilt, dann ist
$$I_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
für jedes $x\in J$ definiert und auf $J$ differenzierbar. Der Hauptsatz sagt:
$$I_a'(x)=f(x).$$
Anschaulich: Verschiebst du die obere Grenze um ein kleines Stück, kommt ungefähr ein schmaler Streifen mit Höhe $f(x)$ hinzu. Die momentane Änderung der gesammelten Bilanz ist daher $f(x)$.
Die Ausgangsfunktion $f$ steuert die Steigung der Integralfunktion: $f(x)\gt 0$ bedeutet steigendes $I_a$, $f(x)\lt 0$ bedeutet fallendes $I_a$.
Falls $f$ zusätzlich differenzierbar ist, kannst du noch einmal ableiten:
$$I_a''(x)=f'(x).$$
Damit lassen sich auch Krümmung und mögliche Wendestellen untersuchen. Für den Kern der Integralfunktion genügt aber die Beziehung $I_a'=f$.
Wie liest du Monotonie und Extremstellen ab?
Weil $I_a'=f$ gilt, brauchst du für die Monotonie von $I_a$ nur das Vorzeichen von $f$ zu untersuchen:
- $f(x)\gt 0$: $I_a$ steigt.
- $f(x)\lt 0$: $I_a$ fällt.
- $f(x)=0$: $I_a$ hat dort eine waagerechte Tangente.
Eine Nullstelle von $f$ ist zunächst nur ein Kandidat für eine Extremstelle von $I_a$. Entscheidend ist der Vorzeichenwechsel:
- von $+$ nach $-$: lokales Maximum von $I_a$;
- von $-$ nach $+$: lokales Minimum von $I_a$;
- kein Vorzeichenwechsel: keine Extremstelle, obwohl die Tangente waagerecht ist.
Nullstellen von $I_a$ und Nullstellen von $f$ erfüllen verschiedene Aufgaben. $I_a(x)=0$ bedeutet: Die orientierte Flächenbilanz von $a$ bis $x$ ist null. Dagegen bedeutet $f(x)=0$: Die Integralfunktion hat dort die Steigung null.
Vollständige Analyse an einem Beispiel
Gegeben ist
$$f(x)=x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$$
und die Integralfunktion mit Basispunkt $0$:
$$I(x)=\int_0^x f(t)\,dt.$$
Funktionsterm und Nullstellen
Eine Stammfunktion ist $F(t)=\frac13t^3+2t^2+3t$. Da $F(0)=0$, gilt
$$I(x)=\frac13x^3+2x^2+3x=\frac13x(x+3)^2.$$
Damit hat $I$ die Nullstellen $x=0$ und $x=-3$. Die Nullstelle $-3$ ist doppelt; der Graph berührt dort die $x$-Achse.
Monotonie und Extremstellen
Nach dem Hauptsatz ist
$$I'(x)=f(x)=(x+1)(x+3).$$
Das Vorzeichen von $f$ ergibt:
| Intervall | Vorzeichen von $f$ | Verhalten von $I$ |
|---|---|---|
| $x\lt -3$ | positiv | steigend |
| $-3\lt x\lt -1$ | negativ | fallend |
| $x\gt -1$ | positiv | steigend |
Also besitzt $I$ bei $x=-3$ ein lokales Maximum und bei $x=-1$ ein lokales Minimum. Die zugehörigen Funktionswerte sind
$$I(-3)=0,\qquad I(-1)=-\frac43.$$
Beachte: Der Basispunkt $0$ ist zwar sicher eine Nullstelle, aber keine Extremstelle. Umgekehrt ist $x=-1$ eine Extremstelle, aber keine Nullstelle von $I$.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
- Dieselbe Variable doppelt verwenden: Schreibe $\int_a^x f(t)\,dt$, nicht missverständlich $\int_a^x f(x)\,dx$.
- Grenzen vertauschen: Der Term lautet $F(x)-F(a)$, nicht $F(a)-F(x)$.
- Integralwert mit Flächeninhalt verwechseln: Unterhalb der Achse sammelt die Integralfunktion negative Beiträge.
- Jede Nullstelle von $f$ zum Extremum erklären: Prüfe immer den Vorzeichenwechsel von $f$.
- Den Definitionsbereich vergessen: Ist $f$ nur auf einem Intervall $J$ stetig, muss der Basispunkt in $J$ liegen und der betrachtete Weg von $a$ bis $x$ im Intervall bleiben.
Für $f(t)=\frac1t$ darfst du nicht ohne Weiteres $I_1(x)=\int_1^x\frac1t\,dt$ für jedes reelle $x$ ansetzen. Im elementaren Sinn ist die Funktion auf dem Intervall $(0,\infty)$ definiert. Ein Weg von $1$ zu einem negativen $x$ würde die nicht definierte Stelle $t=0$ überschreiten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Integralfunktion $I_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt$
- Aufbau: fester Basispunkt $a$, variable Grenze $x$, Laufvariable $t$
- Berechnung: $I_a(x)=F(x)-F(a)$
- Basispunkt: $I_a(a)=0$
- Hauptsatz: $I_a'(x)=f(x)$
- Monotonie: Vorzeichen von $f$
- Extremstellen: Nullstellen von $f$ mit Vorzeichenwechsel
- Nullstellen von $I_a$: ausgeglichene orientierte Flächenbilanz
- Bereich: gemeinsames Stetigkeitsintervall von $a$ und $x$