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Unbestimmtes Integral einfach erklärt
Ein unbestimmtes Integral beschreibt alle Funktionen, deren Ableitung der gegebene Integrand ist. Deshalb gehört zur Antwort immer eine Integrationskonstante: $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ mit $F'(x)=f(x)$ und $C\in\mathbb R$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet ein unbestimmtes Integral?
Beim Integrieren suchst du rückwärts: Du kennst eine Funktion $f$ und suchst eine Funktion $F$, deren Ableitung wieder $f$ ergibt.
Stammfunktion
Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn $F'(x)=f(x)$ gilt.
Der Ausdruck $\int f(x)\,dx$ heißt unbestimmtes Integral. Der Term $f(x)$ unter dem Integralzeichen ist der Integrand. Das Zeichen $dx$ zeigt, dass nach der Variablen $x$ integriert wird.
Gegeben ist $f(x)=2x$. Für $F(x)=x^2$ gilt $F'(x)=2x$. Also ist $x^2$ eine Stammfunktion von $2x$.
Aber auch $x^2+1$ und $x^2+3$ haben die Ableitung $2x$. Das unbestimmte Integral muss daher alle diese Möglichkeiten umfassen:
$$\int 2x\,dx=x^2+C$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim unbestimmten Integral suchst du alle . Eine Stammfunktion $F$ erfüllt . Deshalb steht am Ende .
Warum gehört die Konstante C dazu?
Beim Ableiten verschwindet jede additive Konstante: Die Ableitung von $C$ ist $0$. Deshalb haben $F(x)$, $F(x)+1$ und $F(x)-8$ dieselbe Ableitung.
Ohne Integrationsgrenzen lautet die vollständige Antwort nicht nur $F(x)$, sondern $F(x)+C$ mit $C\in\mathbb R$.
Das $C$ steht nicht für eine bestimmte Zahl. Es kann jede reelle Zahl sein und fasst unendlich viele Stammfunktionen zu einer Stammfunktionsfamilie zusammen.
Wie findest und prüfst du einfache Stammfunktionen?
Nutze das Ableiten als sichere Kontrolle. Suche zunächst eine passende Stammfunktion, ergänze $+C$ und leite anschließend dein Ergebnis ab.
Gesucht ist das unbestimmte Integral von $x^5$.
Eine passende Stammfunktion ist $\frac{1}{6}x^6$, denn beim Ableiten wird der Exponent $6$ zum Faktor und der Exponent sinkt auf $5$:
$$\left(\frac{1}{6}x^6+C\right)'=\frac{1}{6}\cdot 6x^5+0=x^5$$
Damit gilt:
$$\int x^5\,dx=\frac{1}{6}x^6+C$$
Bei einer Summe kannst du die Beiträge einzeln betrachten. Ein konstanter Summand wie $5$ stammt zum Beispiel von $5x$, denn $(5x)'=5$.
Für den Integranden $x^3+5$ ist
$$F(x)=\frac{1}{4}x^4+5x+C$$
eine Stammfunktionsfamilie. Die Probe bestätigt das Ergebnis:
$$F'(x)=x^3+5$$
Worin unterscheidet es sich vom bestimmten Integral?
Ein unbestimmtes Integral hat keine Grenzen und liefert eine Funktionenschar. Ein bestimmtes Integral hat eine untere Grenze $a$ und eine obere Grenze $b$ und liefert einen eindeutigen Zahlenwert:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$
Dabei spielt die Wahl von $C$ keine Rolle, weil sich die Konstante beim Subtrahieren aufhebt.
Für $f(x)=x^3+5$ ist $F(x)=\frac{1}{4}x^4+5x+C$. Zwischen $2$ und $4$ gilt:
$$\int_2^4(x^3+5)\,dx$$
$$=(64+20+C)-(4+10+C)=70$$
Das Ergebnis ist die Zahl $70$. Dagegen ist $\int(x^3+5)\,dx=\frac{1}{4}x^4+5x+C$ eine ganze Stammfunktionsfamilie.
Ein bestimmtes Integral ist eine orientierte Flächenbilanz: Bereiche oberhalb der $x$-Achse zählen positiv, Bereiche darunter negativ. Das unbestimmte Integral selbst ist keine einzelne Fläche und kein einzelner Zahlenwert.
Wie bestimmt eine Anfangsangabe die Konstante?
Unbestimmte Integrale helfen, einen Bestand aus seiner Änderungsrate zu rekonstruieren. Die Änderungsrate ist die Ableitung des Bestands; durch Integrieren erhältst du den Bestand bis auf $C$ zurück.
Für eine Änderungsrate
$$B'(t)=2t-1$$
ist
$$B(t)=t^2-t+C$$
eine Bestandsfunktion, denn $(t^2-t+C)'=2t-1$.
Ohne eine zusätzliche Angabe zum Bestand bleibt $C$ unbestimmt. Ein bekannter Anfangsbestand würde festlegen, welche einzelne Funktion aus der Familie zur Situation passt.
Das unbestimmte Integral liefert alle möglichen Verläufe. Eine zusätzliche Bestandsangabe wählt einen konkreten Verlauf und damit einen Wert für $C$ aus.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Unbestimmtes Integral
- Bedeutung: alle Stammfunktionen eines Integranden
- Grundbedingung: $F'(x)=f(x)$
- Vollständige Schreibweise: $F(x)+C$
- Kontrolle: Ergebnis ableiten
- Abgrenzung: keine Grenzen und kein einzelner Zahlenwert
- Anwendung: Bestand aus einer Änderungsrate rekonstruieren