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Ableiten fragt nach der Änderungsrate. Integrieren geht den Weg zurück: Du suchst Funktionen, deren Ableitung gegeben ist.
- Ich kann das unbestimmte Integral als Stammfunktionssuche erklären.
- Ich kann einfache Potenzregeln anwenden.
- Ich kann die Integrationskonstante C begründen.
- Ich kann durch Ableiten prüfen.
Grundidee
Wenn \(F'(x)=2x\) gilt, kann \(F(x)=x^2\) sein. Aber auch \(x^2+5\) hat dieselbe Ableitung. Darum braucht man die Konstante.
Unbestimmtes Integral
Das unbestimmte Integral \(\int f(x)\,dx\) beschreibt die Menge aller Stammfunktionen von \(f\). Man schreibt deshalb am Ende \(+C\).
Eine Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung wieder die Ausgangsfunktion ergibt. Das unbestimmte Integral hat keine Grenzen und liefert daher keine konkrete Fläche, sondern eine Funktionsfamilie.
\(\int 2x\,dx=x^2+C\).
Probe: \((x^2+C)'=2x+0=2x\).
Unbestimmt integrieren heißt Stammfunktion finden und \(+C\) nicht vergessen.
Vorgehen
Potenzregel rückwärts: Für \(n\ne-1\) gilt \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\). Koeffizienten bleiben als Faktor erhalten.
\(\int (3x^2+4x-5)\,dx=x^3+2x^2-5x+C\).
Probe durch Ableiten: \(3x^2+4x-5\).
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Prüfungsmodus
Verwechsle unbestimmtes und bestimmtes Integral nicht. Ohne Grenzen ist das Ergebnis eine Funktion mit \(+C\), mit Grenzen ist das Ergebnis eine Zahl.
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Alles auf einen Blick
Die wichtigsten Wörter und Entscheidungen solltest du schnell wiedererkennen können.
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Abschluss-Check
Nutze diese Fragen erst, wenn du die Beispiele darüber verstanden hast. Sie mischen Rechnen, Begründen und Entscheiden.
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Zusammenfassung
Das unbestimmte Integral sucht alle Stammfunktionen. Du nutzt Integrationsregeln rückwärts, schreibst \(+C\) und prüfst durch Ableiten.