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Wenn du weißt, wie schnell sich etwas verändert, kannst du daraus den Bestand rekonstruieren. Danach verstehst du, wie Änderungsraten, Integrale und Anfangswerte zusammenhängen.
- Ich kann Bestand und Änderungsrate unterscheiden.
- Ich kann erklären, warum Flächen unter Änderungsraten Bestandsänderungen liefern.
- Ich kann Bestände mit Anfangswert rekonstruieren.
- Ich kann Einheiten sinnvoll deuten.
Bestand und Änderung
Ein Bestand ist die Menge zu einem Zeitpunkt, zum Beispiel Wasser im Tank. Eine Änderungsrate sagt, wie schnell der Bestand wächst oder schrumpft.
Rekonstruktion von Beständen
Aus einer Änderungsrate \(f(t)\) und einem Anfangsbestand \(B(t_0)\) rekonstruierst du den Bestand mit:
Das Integral liefert die Bestandsänderung.
In einem Tank sind zu Beginn 50 Liter. Pro Minute fließen 3 Liter hinein. Nach 8 Minuten gilt:
Bestandsänderung: \(3\cdot8=24\) Liter. Bestand: \(50+24=74\) Liter.
Bestand neu gleich Anfangsbestand plus aufsummierte Änderung.
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Fläche als Änderung
Wenn die Änderungsrate nicht konstant ist, entspricht die Fläche unter dem Graphen der gesamten Änderung.
Die Zuflussrate ist \(f(t)=2t\) Liter pro Minute für \(0\le t\le3\). Anfangs sind 10 Liter im Tank.
Änderung: \(\int_0^3 2t\,dt = [t^2]_0^3=9\) Liter. Bestand nach 3 Minuten: \(10+9=19\) Liter.
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Prüfungsmodus
Achte auf die Frage: Wird die Änderung gesucht oder der Bestand? Für den Bestand brauchst du zusätzlich den Anfangswert.
Ein Bestand hat \(B(0)=100\). Die Änderungsrate ist \(f(t)=-5\) pro Stunde. Nach 6 Stunden: Änderung: \(-5\cdot6=-30\). Bestand: \(100-30=70\).
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Aus einer Änderungsrate rekonstruierst du Bestände, indem du die Änderungen aufsummierst. Das Integral liefert die Bestandsänderung. Für den tatsächlichen Bestand brauchst du zusätzlich den Anfangsbestand.