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Rekonstruktion von Beständen einfach erklärt
Bei der Rekonstruktion eines Bestandes gehst du von seiner momentanen Änderungsrate zurück zum Bestand. Das bestimmte Integral liefert zunächst die Gesamtänderung. Erst zusammen mit einem bekannten Anfangsbestand erhältst du den gesuchten Bestand.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Bestand und Änderungsrate unterscheiden
Ein Bestand gibt an, wie viel von einer Größe zu einem Zeitpunkt vorhanden ist: zum Beispiel 800 ml Wasser, 20 Liter Benzin oder eine Höhe von 15 Metern.
Änderungsrate
Die Änderungsrate beschreibt, wie schnell der Bestand momentan zu- oder abnimmt. Ist $B(t)$ der Bestand, dann ist $B'(t)$ seine Änderungsrate.
Es gelten zwei entgegengesetzte Blickrichtungen:
- Vom Bestand $B$ zur Änderungsrate $B'$ gelangst du durch Differenzieren.
- Von der Änderungsrate $B'$ zurück zum Bestand $B$ gelangst du durch Integrieren.
Dabei verrät das Vorzeichen der Änderungsrate die Richtung:
- $B'(t)>0$: Der Bestand wächst.
- $B'(t)<0$: Der Bestand sinkt.
- $B'(t)=0$: Der Bestand ändert sich in diesem Moment nicht.
Aus konstanten Raten Produktsummen bilden
Ist die Änderungsrate in einem Zeitabschnitt konstant, berechnest du die Änderung mit
$$\text{Änderung}=\text{Änderungsrate}\cdot\text{Zeitspanne}.$$
Die Einheiten zeigen, warum das funktioniert. Bei einem Zufluss in Litern pro Minute gilt zum Beispiel:
$$(\mathrm{l/min})\cdot\mathrm{min}=\mathrm l.$$
Bei mehreren Abschnitten addierst du die einzelnen Produkte. So entsteht eine Produktsumme.
Eine Änderungsrate ist abschnittsweise gegeben:
- von $0$ bis $2$: Rate $2$
- von $2$ bis $3$: Rate $0$
- von $3$ bis $5$: Rate $-1{,}5$
- von $5$ bis $6$: Rate $1$
Der Anfangsbestand ist $B(0)=0$. Damit gilt:
$$B(6)=0+2\cdot2+0\cdot1+(-1{,}5)\cdot2+1\cdot1=2.$$
Die negativen $3$ Bestandseinheiten werden abgezogen, weil der Bestand im dritten Abschnitt sinkt.
Eine Produktsumme addiert orientierte Änderungen. Negative Raten vermindern den Bestand.
Das Integral als Gesamtänderung verstehen
Bei einer veränderlichen Rate kannst du das Intervall in schmale Abschnitte zerlegen. In jedem Abschnitt näherst du die Änderung durch ein Rechteck an:
$$\text{Rate}\cdot\text{Intervallbreite}.$$
Je schmaler die Abschnitte werden, desto genauer beschreibt die Produktsumme die wirkliche Gesamtänderung. Der Grenzwert dieser Summen ist das bestimmte Integral.
Für die Änderungsrate $B'(t)$ gilt:
$$B(t_2)-B(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}B'(t)\,dt.$$
Das Integral liefert also die Änderung zwischen $t_1$ und $t_2$ – noch nicht automatisch den Endbestand.
Bei Messwerten hängt die Näherung davon ab, wie du die Rate zwischen den Messpunkten modellierst. Konstante Abschnitte führen zu Rechtecksummen; lineare Verbindungen führen zu Trapezsummen.
Mit dem Anfangsbestand den Endbestand finden
Für einen konkreten Bestand brauchst du zusätzlich einen bekannten Anfangswert. Die zentrale Rekonstruktionsformel lautet:
$$B(t)=B(t_0)+\int_{t_0}^{t}B'(u)\,du.$$
Dabei ist
- $B(t_0)$ der Anfangsbestand,
- das Integral die orientierte Gesamtänderung,
- $B(t)$ der rekonstruierte Bestand.
Ein anfangs leerer Maßkrug wird befüllt. Die Zuflussrate in ml/s lautet
$$z(t)=-\frac{1}{3600}t^3+\frac{1}{40}t^2.$$
Eine Stammfunktion ist
$$H(t)=-\frac{1}{14400}t^4+\frac{1}{120}t^3+C.$$
Weil der Krug anfangs leer ist, gilt $H(0)=0$ und damit $C=0$. Nach 60 Sekunden enthält er
$$H(60)=-\frac{1}{14400}\cdot60^4+\frac{1}{120}\cdot60^3=900\ \mathrm{ml}.$$
Hier ist das Integral zugleich der Endbestand, weil der Anfangsbestand null ist.
Flächenbilanz und gewöhnlichen Flächeninhalt trennen
Geometrisch entspricht das Integral einer orientierten Flächenbilanz zwischen dem Graphen der Änderungsrate und der Zeitachse:
- Bereiche oberhalb der Achse zählen positiv.
- Bereiche unterhalb der Achse zählen negativ.
Das passt zur Bestandsrekonstruktion: Zufluss erhöht einen Bestand, Abfluss vermindert ihn.
Ein gewöhnlicher geometrischer Flächeninhalt ist dagegen niemals negativ. Für ihn musst du negative Teilintegrale als Beträge addieren.
Ein Fahrzeug fährt zuerst 30 km vorwärts und danach 10 km zurück.
- Die Ortsänderung beträgt $30-10=20$ km.
- Der tatsächlich zurückgelegte Weg beträgt $30+10=40$ km.
Die Ortsänderung entspricht der orientierten Flächenbilanz. Der gesamte Weg entspricht der Summe der Flächenbeträge.
Frage immer: Wird eine Nettoänderung oder eine Gesamtmenge ohne Vorzeichen gesucht?
Bestände sicher rekonstruieren
Gehe bei Sachaufgaben in dieser Reihenfolge vor:
- Bestimme Änderungsrate, Variable, Intervall und Einheiten.
- Deute das Vorzeichen der Rate im Sachzusammenhang.
- Berechne die Gesamtänderung mit Produkten, einer Näherungssumme oder einem Integral.
- Addiere den Anfangsbestand.
- Prüfe Einheit, Vorzeichen und Plausibilität des Ergebnisses.
Ein Behälter enthält anfangs 10 Liter. Vier Minuten lang fließen konstant 3 l/min hinein. Danach fließt zwei Minuten lang 1 l/min ab.
Die Änderungen sind
$$3\ \mathrm{l/min}\cdot4\ \mathrm{min}=12\ \mathrm l$$
und
$$(-1)\ \mathrm{l/min}\cdot2\ \mathrm{min}=-2\ \mathrm l.$$
Damit beträgt der Endbestand
$$10\ \mathrm l+12\ \mathrm l-2\ \mathrm l=20\ \mathrm l.$$
Das Ergebnis ist plausibel: Insgesamt sind 10 Liter hinzugekommen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Bestandsrekonstruktion
- Ausgangsdaten
- Änderungsrate, Intervall und Einheit
- Anfangsbestand
- Gesamtänderung
- Produktsumme bei konstanten Abschnitten
- Integral bei veränderlichen Raten
- Vorzeichen
- oberhalb der Achse positiv
- unterhalb der Achse negativ
- Ergebnis
- Anfangsbestand plus Gesamtänderung
- Einheit und Plausibilität prüfen
- Ausgangsdaten
Abschluss-Check
Du beherrschst die Rekonstruktion, wenn du sicher zwischen Rate, Gesamtänderung und Bestand unterscheidest und dein Ergebnis als Größe mit passender Einheit deuten kannst.