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Ober- und Untersumme einfach erklärt
Ober- und Untersummen grenzen ein bestimmtes Integral mit Rechtecken ein. Die Untersumme verwendet in jedem Teilintervall den kleinsten, die Obersumme den größten Funktionswert. Mit einer feineren Zerlegung nähern sich beide dem Integral.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie Rechtecke das Integral eingrenzen
Zerlege das Intervall $[a,b]$ in kleinere Teilintervalle. Über jedem Teilintervall entsteht ein Rechteck. Seine Breite entspricht der Länge des Teilintervalls.
Untersumme
Für jedes Teilintervall wählst du den kleinsten Funktionswert als Rechteckhöhe. Die Summe dieser orientierten Rechteckflächen heißt Untersumme $U$.
Obersumme
Für jedes Teilintervall wählst du den größten Funktionswert als Rechteckhöhe. Die Summe dieser orientierten Rechteckflächen heißt Obersumme $O$.
Bezeichne die Breite des $i$-ten Teilintervalls mit $\Delta x_i$, seinen kleinsten Funktionswert mit $m_i$ und seinen größten mit $M_i$. Dann gilt:
$$U=\sum_i m_i\cdot\Delta x_i$$
$$O=\sum_i M_i\cdot\Delta x_i$$
Für eine stetige Funktion gilt bei derselben Zerlegung:
$$U\leq\int_a^b f(x)\,dx\leq O$$
Liegt der Graph vollständig oberhalb der $x$-Achse, ist das Integral zugleich der geometrische Flächeninhalt zwischen Graph und Achse.
Kleinster Wert ergibt Untersumme, größter Wert ergibt Obersumme. Linke und rechte Randwerte darfst du nur verwenden, wenn die Monotonie der Funktion dazu passt.
So berechnest du beide Summen
Betrachte $f(x)=x^2$ auf $[0,2]$. Wir zerlegen das Intervall in vier gleich breite Teile.
- Bestimme die Rechteckbreite:
$$\Delta x=\frac{2-0}{4}=\frac12$$
- Die Funktion steigt auf $[0,2]$. Deshalb liefern die linken Randwerte die kleinsten und die rechten Randwerte die größten Werte jedes Teilintervalls.
- Berechne die Untersumme:
$$U=\frac12\left(0^2+0{,}5^2+1^2+1{,}5^2\right)=\frac74=1{,}75$$
- Berechne die Obersumme:
$$O=\frac12\left(0{,}5^2+1^2+1{,}5^2+2^2\right)=\frac{15}{4}=3{,}75$$
Der exakte Integralwert lautet
$$\int_0^2x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac83\approx2{,}667.$$
Damit bestätigt sich die Einschließung
$$1{,}75\leq2{,}667\leq3{,}75.$$
Die Rechnung ist plausibel: Die Untersumme liegt unter und die Obersumme über dem Integralwert.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für die Untersumme verwendest du in jedem Teilintervall den Funktionswert. Für die Obersumme verwendest du den Funktionswert. Jede Rechteckfläche entsteht aus Höhe mal .
Berechne nun selbst Ober- und Untersumme für $f(x)=x$ auf $[0,1]$ mit zwei gleich breiten Teilintervallen.
Warum eine feinere Zerlegung hilft
Bei gleich breiten Teilintervallen heißt ihre Breite auch Feinheit. Für $n$ Teilintervalle über $[a,b]$ gilt:
$$\Delta x=\frac{b-a}{n}$$
Je größer $n$ wird, desto schmaler werden die Rechtecke. Dadurch können sie sich dem Verlauf des Graphen besser anpassen.
Wird eine vorhandene Zerlegung durch zusätzliche Teilungspunkte verfeinert, kann die Untersumme nicht kleiner und die Obersumme nicht größer werden. Die Einschließung wird also mindestens ebenso eng. Für stetige Funktionen nähern sich beide Summen bei verschwindender Feinheit demselben Grenzwert:
$$\lim U=\int_a^b f(x)\,dx=\lim O.$$
Die Differenz $O-U$ zeigt, wie breit das Intervall ist, in dem der Integralwert sicher liegt. Ein kleiner Abstand zwischen beiden Summen bedeutet eine enge Eingrenzung.
Was unterhalb der x-Achse passiert
Ein bestimmtes Integral beschreibt eine orientierte Fläche. Rechtecke oberhalb der $x$-Achse zählen positiv, Rechtecke unterhalb der Achse negativ.
Für die konstante Funktion $f(x)=-1$ auf $[0,1]$ sind kleinster und größter Funktionswert identisch. Daher stimmen beide Summen überein:
$$U=O=(-1)\cdot1=-1.$$
Auch das Integral ist $-1$. Der geometrische Flächeninhalt des Rechtecks beträgt dagegen $1$. Das Vorzeichen unterscheidet also den orientierten Integralwert vom geometrischen Flächeninhalt.
Bei einem Vorzeichenwechsel können positive und negative Beiträge einander teilweise aufheben. Ober- und Untersumme werden trotzdem weiterhin mit den kleinsten und größten vorzeichenbehafteten Funktionswerten gebildet.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Ober- und Untersumme
- Zerlegung des Intervalls
- Breite $\Delta x_i$
- Untersumme $U$
- kleinste Funktionswerte
- Obersumme $O$
- größte Funktionswerte
- Einschließung des Integrals
- $U\leq\int_a^b f(x)\,dx\leq O$
- Feinere Zerlegung
- gemeinsamer Grenzwert
- Orientierte Fläche
- negative Beiträge unter der Achse
- Zerlegung des Intervalls
Abschluss-Check
Du kannst eine Rechnung abschließend mit drei Fragen prüfen: Wurden wirklich Minimum und Maximum jedes Teilintervalls verwendet? Wurde jede Höhe mit der passenden Breite multipliziert? Liegt der Integralwert zwischen Unter- und Obersumme?