Mit Google fortfahren
Ober- und Untersummen nähern Flächen unter einem Graphen mit Rechtecken an. Nach dieser Seite kannst du die Idee erklären, einfache Summen berechnen und den Zusammenhang zum Integral verstehen.
- Ich kann Rechtecknäherungen unter einem Graphen erklären.
- Ich kann Ober- und Untersumme unterscheiden.
- Ich kann einfache Teilintervalle auswerten.
- Ich kann den Grenzprozess zum Integral deuten.
Flächen mit Rechtecken annähern
Wenn eine Fläche unter einem Graphen krumm begrenzt ist, kannst du sie mit Rechtecken annähern. Je schmaler die Rechtecke, desto genauer wird die Näherung.
Untersumme
Die Untersumme verwendet auf jedem Teilintervall einen Rechteckwert, der nicht über dem Graphen liegt.
Obersumme
Die Obersumme verwendet auf jedem Teilintervall einen Rechteckwert, der nicht unter dem Graphen liegt.
Für \(f(x)=x\) auf \([0,4]\) mit vier gleich breiten Rechtecken ist die Breite 1.
Untersumme: \(0+1+2+3=6\).
Obersumme: \(1+2+3+4=10\).
Der echte Flächeninhalt liegt dazwischen und ist 8.
Untersumme liegt darunter, Obersumme darüber. Das Integral liegt dazwischen.
Warum wird es genauer?
Wenn du mehr Rechtecke nutzt, wird jedes Rechteck schmaler. Dann passen die Treppen besser an den Graphen.
Bei \(f(x)=x\) auf \([0,4]\) mit acht Rechtecken ist die Breite \(0{,}5\).
Die Unter- und Obersumme rücken näher an 8 heran als bei vier Rechtecken.
Prüfungsmodus
Achte darauf, ob die Funktion steigt oder fällt. Bei steigenden Funktionen nutzt die Untersumme oft linke Randwerte und die Obersumme rechte Randwerte. Bei fallenden Funktionen ist es umgekehrt.
Interaktive Quizfrage wird geladen ...
Interaktiver Lückentext wird geladen ...
Zusammenfassung
Ober- und Untersummen sind Rechtecknäherungen. Sie schließen die echte Fläche von unten und oben ein. Wenn die Rechtecke immer schmaler werden, führt die Idee zum bestimmten Integral.