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Bestimmtes Integral berechnen und deuten
Ein bestimmtes Integral liefert eine Zahl. Du berechnest sie mit einer Stammfunktion nach dem Grundsatz obere Grenze minus untere Grenze. Geometrisch beschreibt das Ergebnis eine Flächenbilanz: Bereiche unterhalb der $x$-Achse zählen negativ.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet die Schreibweise?
Ein bestimmtes Integral wird so geschrieben:
$$\int_a^b f(x)\,dx$$
Dabei bedeuten:
- $\int$: Integralzeichen
- $a$: untere Integrationsgrenze
- $b$: obere Integrationsgrenze
- $f(x)$: Integrand, also die zu integrierende Funktion
- $x$: Integrationsvariable
- $dx$: Angabe, dass über die Variable $x$ integriert wird
Stammfunktion
Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn $F'(x)=f(x)$ gilt. Zum Beispiel ist $F(x)=x^2$ eine Stammfunktion von $f(x)=2x$.
Ohne Grenzen bezeichnet $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ alle Stammfunktionen. Mit Grenzen liefert $\int_a^b f(x)\,dx$ dagegen einen konkreten Zahlenwert.
Grenzen vorhanden: bestimmtes Integral und Zahlenwert. Keine Grenzen: unbestimmtes Integral und Funktionenfamilie mit $+C$.
Wie berechnest du den Integralwert?
Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, gilt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$
Gehe in drei Schritten vor:
- Bestimme eine Stammfunktion $F$ des Integranden $f$.
- Setze die Grenzen in der Schreibweise $[F(x)]_a^b$ ein.
- Berechne $F(b)-F(a)$: obere Grenze minus untere Grenze.
Berechne $\int_0^5 2x^2\,dx$.
Eine Stammfunktion von $2x^2$ ist $F(x)=\frac{2}{3}x^3$, denn beim Ableiten entsteht wieder $2x^2$.
$$\int_0^5 2x^2\,dx=\left[\frac{2}{3}x^3\right]_0^5$$
Nun setzt du zuerst die obere und danach die untere Grenze ein:
$$\frac{2}{3}\cdot5^3-\frac{2}{3}\cdot0^3=\frac{250}{3}$$
Der bestimmte Integralwert beträgt also $\frac{250}{3}$.
Bei einem bestimmten Integral musst du kein $+C$ mitschreiben. Würdest du es verwenden, höbe es sich auf:
$$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$$
Warum ist das Integral eine Flächenbilanz?
Anschaulich lässt sich eine Fläche unter einem Graphen durch immer schmalere Rechtecke annähern. Das Integral fasst diese Summenidee zu einem genauen Wert zusammen.
Der Integralwert ist ein orientierter Flächeninhalt:
- Flächenanteile oberhalb der $x$-Achse zählen positiv.
- Flächenanteile unterhalb der $x$-Achse zählen negativ.
Deshalb können sich positive und negative Anteile gegenseitig aufheben.
Betrachte $f(x)=x$ im symmetrischen Intervall $[-1,1]$. Eine Stammfunktion ist $F(x)=\frac{x^2}{2}$.
$$\int_{-1}^{1}x\,dx=F(1)-F(-1)=\frac12-\frac12=0$$
Links von $0$ liegt der Graph unterhalb der $x$-Achse, rechts davon oberhalb. Beide gleich großen Teilflächen besitzen entgegengesetzte Vorzeichen. Die Flächenbilanz ist daher $0$, obwohl tatsächlich zwei Flächenstücke vorhanden sind.
Ein Integralwert von $0$ bedeutet nicht automatisch, dass keine Fläche vorhanden ist. Positive und negative Anteile können sich genau ausgleichen.
Wie erhältst du den geometrischen Flächeninhalt?
Der geometrische Flächeninhalt zählt jedes Flächenstück positiv. Wechselt $f$ im Intervall das Vorzeichen, gehst du so vor:
- Bestimme die Nullstellen im betrachteten Intervall.
- Teile das Integral an diesen Nullstellen in Teilintegrale.
- Berechne jedes Teilintegral einzeln.
- Addiere die Beträge der Teilintegrale.
Für $f(x)=x$ im Intervall $[-1,1]$ liegt die Nullstelle bei $x=0$.
Das linke Teilintegral ist
$$\int_{-1}^{0}x\,dx=-\frac12.$$
Das rechte Teilintegral ist
$$\int_0^1x\,dx=\frac12.$$
Für den geometrischen Gesamtflächeninhalt addierst du die Beträge:
$$A=\left|-\frac12\right|+\left|\frac12\right|=1$$
Damit gilt: Integralwert $0$, geometrischer Flächeninhalt $1$ Flächeneinheit.
Welche Regeln vereinfachen bestimmte Integrale?
Gleiche Grenzen
Wenn Anfang und Ende des Intervalls übereinstimmen, hat das Intervall keine Breite:
$$\int_a^a f(x)\,dx=0$$
Vertauschte Grenzen
Beim Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen:
$$\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$$
Teilintervalle
Benachbarte Intervalle lassen sich zusammenfassen:
$$\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx$$
Linearität
Konstante Faktoren darfst du vor das Integral ziehen:
$$\int_a^b c\,f(x)\,dx=c\int_a^b f(x)\,dx$$
Auch Differenzen darfst du getrennt integrieren:
$$\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx=\int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx$$
Symmetrie
Ist $f$ ungerade, also punktsymmetrisch zum Ursprung, gilt auf einem symmetrischen Intervall:
$$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0$$
Ist $f$ gerade, also achsensymmetrisch zur $y$-Achse, gilt:
$$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei gleichen Grenzen ist der Integralwert . Beim Vertauschen der Grenzen wechselt das . Für eine gerade Funktion auf $[-a,a]$ genügt es, das Integral von $0$ bis $a$ zu berechnen und anschließend mit zu multiplizieren.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Bestimmtes Integral
- Schreibweise mit unterer und oberer Grenze
- Berechnung durch $F(b)-F(a)$
- Ergebnis als konkrete Zahl
- Deutung als orientierte Flächenbilanz
- geometrische Fläche durch Beträge der Teilintegrale
- Vereinfachung durch Intervallregeln und Symmetrie