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Manchmal sollst du Flächen berechnen, obwohl das Intervall unendlich lang ist oder die Funktion an einer Stelle problematisch wird. Dafür gibt es uneigentliche Integrale.
- Ich kann das Thema Uneigentliches Integral in eigenen Worten erklären.
- Ich kann typische Aufgaben zu diesem Thema Schritt für Schritt lösen.
- Ich kann wichtige Begriffe erkennen und voneinander unterscheiden.
- Ich kann meine Rechnung oder Entscheidung mit einer Probe kontrollieren.
Worum es geht
Ein uneigentliches Integral ersetzt eine unendliche Grenze oder eine kritische Stelle durch einen Grenzwert. Existiert dieser Grenzwert endlich, konvergiert das Integral.
Uneigentliches Integral
Ein uneigentliches Integral ist ein Integral, das über einen Grenzwert definiert wird, weil das Intervall unbeschränkt ist oder die Funktion im Intervall nicht überall beschränkt ist.
Nicht einfach unendlich einsetzen: erst als Grenzwert schreiben.
Schritt für Schritt
Erkenne den problematischen Rand oder die problematische Stelle. Ersetze ihn durch eine Variable, integriere normal und bilde anschließend den Grenzwert.
\(\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx\).
Eine Stammfunktion ist \(-\frac{1}{x}\). Also \(\lim_{b\to\infty}(-\frac{1}{b}+1)=1\).
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Typische Fehler vermeiden
Wenn eine problematische Stelle im Inneren liegt, musst du das Integral aufteilen. Ein einziger Grenzwert über die Stelle hinweg ist nicht sauber.
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Prüfungsmodus
Schreibe Konvergenz oder Divergenz ausdrücklich hin. Bei mehreren Problemstellen muss jeder Teil konvergieren.
\(\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx=\lim_{b\to\infty}\ln(b)-\ln(1)\).
\(\ln(b)\) wächst unbegrenzt. Das Integral divergiert.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Uneigentliche Integrale sind normale Integrale plus Grenzwertarbeit. Die wichtigste Entscheidung ist, ob der Grenzwert endlich bleibt.