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Uneigentliche Integrale berechnen und prüfen
Ein uneigentliches Integral enthält mindestens eine kritische Grenze oder Stelle. Du ersetzt sie durch eine endliche Grenze und untersuchst anschließend einen Grenzwert. Nur wenn alle benötigten Grenzwerte endlich existieren, konvergiert das Integral.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein uneigentliches Integral?
Ein bestimmtes Integral ist nicht unmittelbar als gewöhnliches Integral berechenbar, wenn eine Integrationsgrenze unendlich ist oder der Integrand an einer Stelle des Intervalls nicht definiert beziehungsweise unbeschränkt ist.
Uneigentliches Integral
Ein uneigentliches Integral wird durch einen Grenzwert gewöhnlicher bestimmter Integrale definiert. Konvergent heißt es, wenn dieser Grenzwert endlich existiert. Andernfalls heißt es divergent.
Man unterscheidet häufig zwei Arten:
- Erste Art: Mindestens eine Integrationsgrenze ist $+\infty$ oder $-\infty$.
- Zweite Art: Im Integrationsintervall liegt eine endliche kritische Stelle, an der der Integrand nicht definiert oder unbeschränkt ist.
Beispiele:
- $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$ ist wegen der oberen Grenze uneigentlich.
- $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ ist wegen der kritischen Stelle $x=0$ uneigentlich.
- $\int_0^1 x^2\,dx$ ist ein gewöhnliches bestimmtes Integral.
So funktioniert das Grenzwertverfahren
Bei einer unbeschränkten oberen Grenze gilt:
$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$
Du gehst in drei Schritten vor:
- Ersetze die kritische Grenze durch eine endliche Variable.
- Berechne das entstandene gewöhnliche Integral.
- Bilde den passenden Grenzwert und entscheide, ob er endlich ist.
Berechne $\int_0^\infty e^{-x}\,dx$.
1. Grenze ersetzen:
$$\int_0^\infty e^{-x}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_0^b e^{-x}\,dx$$
2. Gewöhnliches Integral berechnen: Eine Stammfunktion von $e^{-x}$ ist $-e^{-x}$.
$$\int_0^b e^{-x}\,dx=[-e^{-x}]_0^b=1-e^{-b}$$
3. Grenzwert bilden: Für $b\to\infty$ nähert sich $e^{-b}$ der Zahl $0$.
$$\lim_{b\to\infty}(1-e^{-b})=1$$
Der Grenzwert ist endlich. Das Integral konvergiert und hat den Wert $1$.
Die Symbole $\infty$ und $-\infty$ sind keine Zahlen, die du wie gewöhnliche Grenzen einsetzen darfst. Sie geben einen Grenzübergang an.
Konvergenz und Divergenz unterscheiden
Eine Kurve kann sich der $x$-Achse immer weiter nähern. Trotzdem ist nicht allein die Skizze entscheidend: Nur der berechnete Grenzwert zeigt, ob das Integral einen endlichen Wert besitzt.
Für $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$ gilt:
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx$$
Mit der Stammfunktion $-\frac{1}{x}$ folgt:
$$\int_1^b x^{-2}\,dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_1^b=1-\frac{1}{b}$$
Weil $\frac{1}{b}\to0$, ist
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=1.$$
Das Integral konvergiert.
Beim ähnlich aussehenden Integral $\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$ erhältst du:
$$\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx=\lim_{b\to\infty}[\ln x]_1^b=\lim_{b\to\infty}\ln b$$
$\ln b$ wächst ohne endliche Grenze. Das Integral divergiert und besitzt keinen endlichen Integralwert.
Dass der Integrand gegen $0$ strebt, reicht nicht für Konvergenz. Sowohl $\frac{1}{x}$ als auch $\frac{1}{x^2}$ nähern sich $0$, aber nur das zweite Integral konvergiert auf $[1,\infty)$.
Endliche kritische Stellen richtig annähern
Liegt die kritische Stelle bei einer endlichen Grenze, musst du dich ihr von der Seite des Integrationsintervalls nähern. Für eine kritische untere Grenze $c$ gilt beispielsweise:
$$\int_c^d f(x)\,dx=\lim_{a\to c^+}\int_a^d f(x)\,dx$$
Das Zeichen $c^+$ bedeutet: $a$ nähert sich $c$ von rechts.
Berechne $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$. Bei $x=0$ ist der Integrand nicht definiert.
$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\lim_{a\to0^+}\int_a^1 x^{-1/2}\,dx$$
Eine Stammfunktion ist $2\sqrt{x}$:
$$\int_a^1 x^{-1/2}\,dx=[2\sqrt{x}]_a^1=2-2\sqrt{a}$$
Für $a\to0^+$ gilt $\sqrt{a}\to0$. Daher:
$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2$$
Obwohl der Integrand nahe $0$ unbeschränkt wächst, konvergiert das Integral.
Zum Vergleich divergiert $\int_0^1 \frac{1}{x}\,dx$, denn der entstehende logarithmische Grenzwert ist nicht endlich.
Mehrere kritische Grenzen getrennt prüfen
Enthält ein Integral mehrere kritische Grenzen oder Stellen, zerlegst du es an einem regulären Zwischenwert $c$. Jedes Teilintegral muss unabhängig konvergieren.
$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$$
Berechne
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx.$$
Trenne bei $0$:
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx=\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2}\,dx+\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx$$
Eine Stammfunktion ist $\arctan x$. Für den linken Teil gilt:
$$\lim_{a\to-\infty}[\arctan x]_a^0=0-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$$
Für den rechten Teil gilt:
$$\lim_{b\to\infty}[\arctan x]_0^b=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}$$
Beide Teilintegrale konvergieren. Deshalb darfst du ihre Werte addieren:
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi.$$
Ein Gesamtintegral divergiert bereits dann, wenn nur eines der benötigten Teilintegrale divergiert. Gegensätzliche unendliche Beiträge dürfen nicht miteinander verrechnet werden.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Uneigentliches Integral
- erkennen: unendliche Grenze oder kritische Stelle
- ersetzen: endliche Variable einsetzen
- berechnen: gewöhnliches Integral auswerten
- prüfen: passenden Grenzwert bilden
- entscheiden: endlich bedeutet konvergent
- zerlegen: mehrere kritische Stellen getrennt behandeln
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Entscheidungen begründen kannst, beherrschst du den Kernweg: kritische Stelle finden, ersetzen oder zerlegen, integrieren, Grenzwert prüfen und Konvergenz entscheiden.