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Scheitelwinkel und Nebenwinkel berechnen
Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier Winkel. Gegenüberliegende Scheitelwinkel sind gleich groß. Benachbarte Nebenwinkel, die zusammen eine Gerade bilden, ergeben $180^\circ$.
Auf dieser Seite lernst du, beide Winkelpaare zu erkennen, fehlende Winkel zu berechnen und jeden Rechenschritt zu begründen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du die Winkelpaare?
Stell dir die vier Winkel an einer Geradenkreuzung im Uhrzeigersinn als $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ vor.
Scheitelwinkel
Scheitelwinkel liegen sich an der Kreuzung gegenüber. Sie haben keinen gemeinsamen Schenkel und sind gleich groß.
Es gilt:
$$\alpha=\gamma \qquad \text{und} \qquad \beta=\delta$$
Nebenwinkel
Nebenwinkel liegen direkt nebeneinander und teilen einen Schenkel. Ihre beiden anderen Schenkel bilden gemeinsam eine Gerade. Deshalb beträgt ihre Summe $180^\circ$.
Zum Beispiel gilt:
$$\alpha+\beta=180^\circ$$
Bei der Reihenfolge $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ sind auch $(\beta,\gamma)$, $(\gamma,\delta)$ und $(\delta,\alpha)$ Nebenwinkelpaare.
Gegenüber bedeutet Scheitelwinkel: gleich groß. Nebeneinander an einer Geraden bedeutet Nebenwinkel: zusammen $180^\circ$.
Wie berechnest du einen fehlenden Winkel?
Gehe in drei Schritten vor:
- Prüfe die Lage der beiden Winkel: gegenüber oder nebeneinander an einer Geraden?
- Wähle den passenden Winkelsatz.
- Rechne und kontrolliere das Ergebnis anhand der Lage.
Ein Winkel misst $108^\circ$. Gesucht ist sein Nebenwinkel $\beta$.
Da beide Winkel zusammen eine Gerade bilden, gilt:
$$108^\circ+\beta=180^\circ$$
Ziehe $108^\circ$ von $180^\circ$ ab:
$$\beta=180^\circ-108^\circ=72^\circ$$
Kontrolle: $108^\circ+72^\circ=180^\circ$. Das Ergebnis passt zur Nebenwinkelbeziehung.
Bei Scheitelwinkeln ist keine Subtraktion nötig: Liegt einem Winkel von $65^\circ$ der Winkel $\gamma$ gegenüber, dann gilt sofort $\gamma=65^\circ$.
Wie bestimmst du alle vier Winkel?
Oft reicht ein einziges gegebenes Winkelmaß aus. Du berechnest zuerst einen benachbarten Winkel und überträgst anschließend die Maße auf die gegenüberliegenden Scheitelwinkel.
Die Winkel $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ liegen im Uhrzeigersinn um eine Geradenkreuzung. Gegeben ist $\delta=25^\circ$.
1. Nebenwinkel berechnen: $\alpha$ liegt neben $\delta$ und beide bilden zusammen eine Gerade.
$$\alpha+25^\circ=180^\circ$$
$$\alpha=155^\circ$$
2. Ersten Scheitelwinkel bestimmen: $\beta$ liegt $\delta$ gegenüber.
$$\beta=\delta=25^\circ$$
3. Zweiten Scheitelwinkel bestimmen: $\gamma$ liegt $\alpha$ gegenüber.
$$\gamma=\alpha=155^\circ$$
Kontrolle: Benachbarte Winkel ergeben jeweils $155^\circ+25^\circ=180^\circ$. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Typische Fehler vermeiden
- Gleich groß gilt für gegenüberliegende Scheitelwinkel, nicht allgemein für benachbarte Winkel.
- Zwei benachbarte Winkel sind nur dann Nebenwinkel, wenn ihre anderen Schenkel eine Gerade bilden.
- Begründe zuerst die Beziehung und rechne danach. Die Lage entscheidet über den Rechenweg.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Winkel an einer Geradenkreuzung
- Scheitelwinkel
- liegen gegenüber
- sind gleich groß
- Nebenwinkel
- liegen nebeneinander an einer Geraden
- ergeben zusammen $180^\circ$
- Rechenweg
- Lage erkennen
- Winkelsatz wählen
- Ergebnis kontrollieren
- Scheitelwinkel