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Stufenwinkel und Wechselwinkel einfach erklärt
Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden, entstehen an zwei Schnittpunkten acht Winkel. Stufenwinkel haben an beiden Schnittpunkten die gleiche Lage. Wechselwinkel liegen auf entgegengesetzten Seiten der Schnittgeraden. Bei parallelen Geraden sind beide Winkelarten jeweils gleich groß.
Auf dieser Seite lernst du, passende Winkelpaare zu erkennen, unbekannte Winkel zu berechnen und deine Schritte mit Winkelsätzen zu begründen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Winkelpaare an zwei Schnittpunkten erkennen
Stell dir zwei waagerechte Geraden vor, die von einer schrägen dritten Geraden geschnitten werden. Die schräge Gerade heißt Schnittgerade. An jedem der beiden Schnittpunkte entstehen vier Winkel.
Stufenwinkel
Stufenwinkel liegen an den beiden Schnittpunkten in entsprechender Lage: zum Beispiel beide jeweils rechts oberhalb ihres Schnittpunkts. Du wechselst also zum anderen Schnittpunkt, behältst aber dieselbe Position bei.
Ein Winkel liegt am oberen Schnittpunkt rechts oberhalb. Der Winkel am unteren Schnittpunkt, der ebenfalls rechts oberhalb liegt, ist sein Stufenwinkel.
Wechselwinkel
Wechselwinkel liegen an verschiedenen Schnittpunkten und auf entgegengesetzten Seiten der Schnittgeraden. Auch ihre Lage zu den beiden geschnittenen Geraden wechselt. Innenliegende Wechselwinkel bilden häufig die Form eines normalen oder gespiegelten Z.
Ein Winkel liegt am oberen Schnittpunkt unter der oberen Geraden und rechts von der Schnittgeraden. Sein innenliegender Wechselwinkel liegt am unteren Schnittpunkt über der unteren Geraden und links von der Schnittgeraden.
Ein hilfreiches Suchverfahren ist:
- Gehe zum anderen Schnittpunkt und suche dort zuerst den Stufenwinkel.
- Nimm anschließend den gegenüberliegenden Scheitelwinkel.
- Dieser Winkel ist der Wechselwinkel des Ausgangswinkels.
Gleiche Position führt zum Stufenwinkel. Anderer Schnittpunkt und andere Seite führen zum Wechselwinkel.
Die Gleichheit braucht parallele Geraden
Die Namen Stufenwinkel und Wechselwinkel beschreiben zunächst die Lage zweier Winkel. Für ihre Größe ist eine zusätzliche Bedingung entscheidend: Die beiden geschnittenen Geraden müssen parallel sein.
Sind die geschnittenen Geraden parallel, dann gilt:
- Stufenwinkel sind gleich groß.
- Wechselwinkel sind gleich groß.
Sind die Geraden nicht parallel, können die Winkel zwar dieselbe Lagebeziehung haben, müssen aber nicht gleich groß sein.
An jedem einzelnen Schnittpunkt gelten außerdem zwei bekannte Regeln:
- Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß.
- Nebenwinkel liegen nebeneinander an einer Geraden und ergeben zusammen $180^\circ$.
Bei zwei geschnittenen Parallelen lassen sich alle acht Winkel damit bestimmen. Sie besitzen insgesamt nur zwei Größen: einen Winkelwert und seine Ergänzung zu $180^\circ$.
Ein Winkel an zwei geschnittenen Parallelen beträgt $68^\circ$.
- Seine Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel betragen ebenfalls $68^\circ$.
- Jeder direkt benachbarte Nebenwinkel beträgt
$$180^\circ-68^\circ=112^\circ.$$
Damit sind alle acht Winkel entweder $68^\circ$ oder $112^\circ$ groß.
Winkel Schritt für Schritt berechnen
Beim Rechnen genügt ein Ergebnis allein nicht. Notiere zu jedem Schritt den verwendeten Winkelsatz.
Zwei parallele Geraden werden von einer dritten Geraden geschnitten. Ein gegebener Winkel beträgt $47^\circ$. Gesucht sind sein Wechselwinkel und der Nebenwinkel dieses Wechselwinkels.
1. Wechselwinkel bestimmen
Der gesuchte Winkel liegt am anderen Schnittpunkt in entgegengesetzter Lage. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß. Der Wechselwinkel misst daher ebenfalls $47^\circ$.
2. Nebenwinkel bestimmen
Der zweite gesuchte Winkel liegt direkt neben dem $47^\circ$-Winkel. Nebenwinkel ergeben zusammen $180^\circ$:
$$180^\circ-47^\circ=133^\circ.$$
Der Nebenwinkel misst $133^\circ$.
3. Ergebnis prüfen
$47^\circ+133^\circ=180^\circ$. Die beiden Werte passen daher zu einem Nebenwinkelpaar.
Eine zuverlässige Argumentationskette nennt immer drei Dinge: die Lage des gesuchten Winkels, den passenden Winkelsatz und die daraus folgende Rechnung oder Gleichheit.
Mit Wechselwinkeln Parallelität nachweisen
Der Wechselwinkelsatz lässt sich auch umkehren:
Sind Wechselwinkel gleich groß, dann sind die beiden geschnittenen Geraden parallel.
Damit kannst du Parallelität begründen, ohne dich auf den bloßen Eindruck einer Zeichnung zu verlassen.
Zwei Geraden werden von einer dritten Geraden geschnitten. Ein Wechselwinkelpaar misst zweimal $63^\circ$.
Die beiden Winkel sind Wechselwinkel und gleich groß. Nach der Umkehrung des Wechselwinkelsatzes sind die beiden geschnittenen Geraden parallel.
Achte auf die Richtung der Aussage:
- Parallelität gegeben: Du darfst die Gleichheit der Wechselwinkel folgern.
- Gleiche Wechselwinkel gegeben: Du darfst die Parallelität der Geraden folgern.
- Nur eine ähnlich aussehende Zeichnung gegeben: Daraus folgt noch keine Parallelität.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Stufenwinkel und Wechselwinkel
- Lage erkennen
- Stufenwinkel: entsprechende Position
- Wechselwinkel: entgegengesetzte Seiten
- Winkel berechnen
- Parallele Geraden: gleiche Winkel
- Nebenwinkel: Summe $180^\circ$
- Scheitelwinkel: gleiche Größe
- Parallelität begründen
- gleiche Wechselwinkel
- Umkehrung des Wechselwinkelsatzes
- Lage erkennen
Abschluss-Check
Du kannst Winkelaufgaben nun als Begründungskette lösen: Lage erkennen, Voraussetzung prüfen, Winkelsatz nennen, rechnen und Ergebnis kontrollieren.