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Winkel berechnen: Dreieck, Viereck und Sinus
Fehlende Winkel berechnest du je nach Angaben auf zwei Arten: In Dreiecken und Vierecken nutzt du die Innenwinkelsumme. In rechtwinkligen Dreiecken kannst du einen Winkel aus zwei bekannten Seitenlängen mit Sinus, Kosinus oder Tangens bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welches Verfahren passt zur Aufgabe?
Schau zuerst auf die gegebenen Größen:
- Sind in einem Dreieck zwei Winkel bekannt? Nutze die Innenwinkelsumme $180^\circ$.
- Sind in einem Viereck drei Winkel bekannt? Nutze die Innenwinkelsumme $360^\circ$.
- Ist das Dreieck rechtwinklig und sind zwei passende Seitenlängen bekannt? Nutze Sinus, Kosinus oder Tangens.
Bestimme zuerst die Art der Figur und markiere alle bekannten Größen. Rechne erst danach.
Die Innenwinkelsumme reicht nicht aus, wenn zu wenige Winkel bekannt sind. Die hier erklärten Winkelfunktionen gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.
Fehlende Innenwinkel berechnen
Die Innenwinkelsumme ist die Summe aller Winkel im Inneren einer Figur.
Innenwinkelsumme
In jedem Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme $180^\circ$. In jedem Viereck beträgt sie $360^\circ$.
Beispiel: fehlender Winkel im Dreieck
Gegeben sind $\beta=73^\circ$ und $\gamma=80^\circ$. Gesucht ist $\alpha$.
- Stelle die Winkelsumme auf:
$$\alpha+73^\circ+80^\circ=180^\circ$$
- Ziehe die bekannten Winkel von $180^\circ$ ab:
$$\alpha=180^\circ-73^\circ-80^\circ$$
- Berechne das Ergebnis:
$$\alpha=27^\circ$$
Kontrolle: $27^\circ+73^\circ+80^\circ=180^\circ$. Der gesuchte Winkel ist also $27^\circ$ groß.
Beispiel: fehlender Winkel im Viereck
Drei Winkel eines Vierecks sind $95^\circ$, $108^\circ$ und $97^\circ$ groß.
$$360^\circ-95^\circ-108^\circ-97^\circ=60^\circ$$
Der vierte Winkel beträgt $60^\circ$. Die Kontrolle ergibt:
$$95^\circ+108^\circ+97^\circ+60^\circ=360^\circ$$
Übung
In einem Dreieck gilt $\alpha=53^\circ$ und $\beta=22^\circ$. Berechne $\gamma$.
Winkel im rechtwinkligen Dreieck berechnen
Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Winkel von $90^\circ$. Die längste Seite liegt diesem rechten Winkel gegenüber und heißt Hypotenuse.
Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Ihre Namen hängen vom gesuchten spitzen Winkel ab:
- Die Gegenkathete liegt dem gesuchten Winkel gegenüber.
- Die Ankathete ist die Kathete, die am gesuchten Winkel liegt.
Die Hypotenuse bleibt dieselbe Seite. Gegenkathete und Ankathete können ihre Rollen wechseln, wenn du einen anderen Winkel betrachtest.
Die bekannten Seiten bestimmen die Winkelfunktion:
- Gegenkathete und Hypotenuse: $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
- Ankathete und Hypotenuse: $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
- Gegenkathete und Ankathete: $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Um aus dem Seitenverhältnis den Winkel zu erhalten, verwendest du anschließend die passende Umkehrfunktion: $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ oder $\tan^{-1}$. Stelle deinen Taschenrechner dafür auf den Gradmodus, meist mit DEG bezeichnet.
Vollständiges Sinus-Beispiel
Gegeben sind die Gegenkathete $3\,\mathrm{cm}$ und die Hypotenuse $6\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist $\alpha$.
- Die bekannten Seiten sind Gegenkathete und Hypotenuse. Deshalb passt der Sinus.
- Setze die Längen ein:
$$\sin(\alpha)=\frac{3\,\mathrm{cm}}{6\,\mathrm{cm}}=0{,}5$$
- Wende die Sinus-Umkehrfunktion im Gradmodus an:
$$\alpha=\sin^{-1}(0{,}5)=30^\circ$$
Die Einheit Zentimeter kürzt sich im Seitenverhältnis. Das Ergebnis ist ein Winkel: $\alpha=30^\circ$.
Übung mit Kosinus
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenuse $5\,\mathrm{cm}$ und die Ankathete des gesuchten Winkels $3\,\mathrm{cm}$ lang. Berechne den Winkel $\alpha$ und runde auf eine Stelle nach dem Komma.
Ergebnisse prüfen und typische Fehler vermeiden
Eine Rechnung ist erst fertig, wenn du das Ergebnis geprüft hast.
- Figur prüfen: Hast du $180^\circ$ für ein Dreieck beziehungsweise $360^\circ$ für ein Viereck verwendet?
- Summe prüfen: Ergeben alle Innenwinkel zusammen die richtige Innenwinkelsumme?
- Seiten prüfen: Liegt die Hypotenuse wirklich dem rechten Winkel gegenüber?
- Bezug prüfen: Hast du Gegenkathete und Ankathete relativ zum gesuchten Winkel benannt?
- Größe prüfen: Passt das Ergebnis zur Winkelart? Ein spitzer Winkel ist kleiner als $90^\circ$, ein stumpfer Winkel größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$.
Die Schreibweise $\sin^{-1}$ bezeichnet hier die Umkehrfunktion, mit der du aus einem Sinuswert einen Winkel bestimmst. Sie ist nicht dasselbe wie der Kehrwert des Sinuswerts. Entsprechend sind auch $\cos^{-1}$ und $\tan^{-1}$ Umkehrfunktionen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Winkel berechnen
- Innenwinkelsumme: Dreieck $180^\circ$, Viereck $360^\circ$
- Rechtwinkliges Dreieck: Seiten relativ zum gesuchten Winkel benennen
- Sinus: Gegenkathete und Hypotenuse
- Kosinus: Ankathete und Hypotenuse
- Tangens: Gegenkathete und Ankathete
- Kontrolle: Summe, Seitenzuordnung und Winkelgröße prüfen
Abschluss-Check
Du kannst Winkel nun systematisch berechnen: Wähle das Verfahren nach Figur und Angaben, führe die Rechnung mit Gradangaben aus und kontrolliere das Ergebnis im geometrischen Zusammenhang.