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Winkelsumme im Dreieck: Winkel berechnen
In jedem ebenen Dreieck mit geraden Seiten ergeben die drei Innenwinkel zusammen genau $180^\circ$. Kennst du zwei Winkel, kannst du deshalb den dritten berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet Winkelsumme?
Ein Dreieck besitzt drei Eckpunkte $A$, $B$ und $C$. Die zugehörigen Innenwinkel heißen meist $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$.
Innenwinkelsumme
Die Innenwinkelsumme ist die Summe aller Winkel im Inneren einer Figur. Für ein ebenes Dreieck mit geraden Seiten gilt:
$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
Ein Winkel von $180^\circ$ heißt gestreckter Winkel. Seine Schenkel bilden zusammen eine gerade Linie.
Ein Dreieck hat die Winkel $45^\circ$, $75^\circ$ und $60^\circ$.
$$45^\circ + 75^\circ + 60^\circ = 180^\circ$$
Die drei Werte erfüllen die Winkelsumme und können daher die Innenwinkel eines Dreiecks sein.
Warum sind es immer 180 Grad?
Du kannst den Zusammenhang zunächst mit einem Papierdreieck untersuchen: Trenne die drei Ecken ab und lege ihre Spitzen nebeneinander. Die Winkel füllen gemeinsam eine gerade Linie aus.
Eine geometrische Begründung nutzt eine Hilfsgerade:
- Denke dir durch eine Dreiecksspitze eine Gerade, die parallel zur gegenüberliegenden Seite verläuft.
- Die beiden anderen Innenwinkel lassen sich mithilfe der Winkelbeziehungen an parallelen Geraden an die Spitze übertragen.
- Dort liegen die drei gleich großen Winkel nebeneinander auf einer Geraden.
- Ein gestreckter Winkel misst $180^\circ$. Daher gilt $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.
Die Aussage gilt für Dreiecke in der Ebene, deren Seiten gerade Strecken sind. Auf gekrümmten Flächen kann die Winkelsumme von $180^\circ$ abweichen.
Wie berechnest du einen fehlenden Winkel?
Sind zwei Innenwinkel bekannt, ziehst du beide von $180^\circ$ ab.
Für den fehlenden Winkel $\gamma$ gilt:
$$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$$
Entsprechend kannst du auch $\alpha$ oder $\beta$ berechnen.
Gegeben sind $\alpha = 68^\circ$ und $\beta = 47^\circ$. Gesucht ist $\gamma$.
1. Zusammenhang notieren:
$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
2. Bekannte Winkel abziehen:
$$\gamma = 180^\circ - 68^\circ - 47^\circ$$
3. Berechnen:
$$\gamma = 65^\circ$$
4. Prüfen:
$$68^\circ + 47^\circ + 65^\circ = 180^\circ$$
Der fehlende Innenwinkel ist also $65^\circ$.
Wie prüfst du Rechnung und Dreieck?
Ein berechneter Innenwinkel muss größer als $0^\circ$ sein. Außerdem müssen alle drei Winkel zusammen genau $180^\circ$ ergeben.
Gegeben sind $\alpha = 112^\circ$ und $\beta = 31^\circ$.
$$\gamma = 180^\circ - 112^\circ - 31^\circ = 37^\circ$$
Der Wert ist positiv. Die Probe bestätigt das Ergebnis:
$$112^\circ + 31^\circ + 37^\circ = 180^\circ$$
Typische Fehler kannst du so vermeiden:
- Nur einen Winkel abziehen: Ziehe immer beide bekannten Winkel von $180^\circ$ ab.
- Mit $360^\circ$ rechnen: Ein voller Winkel hat $360^\circ$, die Innenwinkelsumme eines Dreiecks aber $180^\circ$.
- Die Probe auslassen: Addiere am Ende alle drei Innenwinkel.
- Ein Ergebnis von $0^\circ$ oder weniger akzeptieren: Ein Innenwinkel eines Dreiecks muss größer als $0^\circ$ sein.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
In einem ebenen Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme . Den dritten Winkel erhältst du, indem du die beiden bekannten Winkel von abziehst. Ein gültiger Innenwinkel muss sein.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Winkelsumme im Dreieck
- Satz: Drei Innenwinkel ergeben $180^\circ$
- Begründung: An einer Parallelen entsteht ein gestreckter Winkel
- Berechnung: Beide bekannten Winkel von $180^\circ$ abziehen
- Probe: Drei Winkel addieren und Ergebnis auf Positivität prüfen
- Geltungsbereich: Ebene Dreiecke mit geraden Seiten
Abschluss-Check
Wenn du einen fehlenden Winkel berechnest, helfen dir drei Schritte: von $180^\circ$ abziehen, Einheit Grad notieren und durch Addition prüfen.