Mit Google fortfahren
Schnittpunkte berechnen: Methode und Beispiele
Ein Schnittpunkt gehört zu zwei Funktionsgraphen. Deshalb haben beide Funktionen dort beim selben $x$-Wert denselben $y$-Wert. Rechnerisch setzt du die Funktionsterme gleich, löst nach $x$ auf und berechnest anschließend $y$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet ein Schnittpunkt?
Ein Schnittpunkt ist ein gemeinsamer Punkt zweier Funktionsgraphen. Seine Koordinaten schreibst du als $S(x|y)$: zuerst die $x$-Koordinate, dann die $y$-Koordinate.
Wenn $S(1|3)$ auf den Graphen von $f$ und $g$ liegt, müssen beide Funktionen für $x=1$ den Wert $3$ liefern. Zum Beispiel gilt für
$$f(x)=2x+1$$
und
$$g(x)=x+2:$$
$$f(1)=2·1+1=3$$
$$g(1)=1+2=3$$
Der Punkt $S(1|3)$ erfüllt also beide Funktionsgleichungen.
Schnittpunkt
Ein Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen ist ein Punkt, dessen Koordinaten beide Funktionsgleichungen erfüllen. Daher gilt dort $f(x)=g(x)$.
Gleicher Punkt bedeutet: gleicher $x$-Wert und gleicher Funktionswert.
Wie gehst du beim Rechnen vor?
Nutze immer dieselbe Grundfolge:
- Gleichsetzen: Schreibe $f(x)=g(x)$.
- Nach $x$ lösen: Bestimme alle reellen Lösungen der entstehenden Gleichung.
- $y$ berechnen: Setze jeden gefundenen $x$-Wert in eine der beiden Funktionen ein.
- Probe machen: Prüfe den Punkt mit der anderen Funktion.
- Punkt angeben: Schreibe jede Lösung als $S(x|y)$.
Für die Berechnung von $y$ darfst du die einfachere Funktion wählen. Am Schnittpunkt liefern beide denselben Wert.
Eine Zeichnung hilft dir, die Anzahl und ungefähre Lage der Schnittpunkte einzuschätzen. Exakte Koordinaten erhältst du jedoch erst durch die Rechnung.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Am Schnittpunkt haben beide Funktionen für denselben x-Wert den y-Wert. Deshalb werden die Funktionsterme zuerst . Nach dem Lösen setzt du jeden gefundenen x-Wert in ein.
Wie sieht eine vollständige Rechnung aus?
Gegeben sind
$$f(x)=2x-4$$
und
$$g(x)=-x+5.$$
1. Terme gleichsetzen
$$2x-4=-x+5$$
2. Nach x auflösen
Addiere auf beiden Seiten $x$ und anschließend $4$:
$$3x=9$$
$$x=3$$
3. y-Wert berechnen
Setze $x=3$ in $f$ ein:
$$f(3)=2·3-4=2$$
4. Probe mit g
$$g(3)=-3+5=2$$
Beide Funktionen liefern denselben Wert. Der Schnittpunkt ist
$$S(3|2).$$
Ein häufiger Fehler ist, nach der Berechnung von $x$ aufzuhören. Eine vollständige Punktangabe braucht immer beide Koordinaten.
Welche Sonderfälle gibt es bei Geraden?
Lineare Funktionen haben die Form $f(x)=mx+b$. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt.
Für zwei Geraden gibt es drei Fälle:
- Verschiedene Steigungen: Die Geraden besitzen genau einen Schnittpunkt.
- Gleiche Steigung, verschiedene Achsenabschnitte: Die Geraden sind parallel und besitzen keinen Schnittpunkt.
- Gleiche Steigung und gleicher Achsenabschnitt: Die Geraden sind identisch und besitzen unendlich viele gemeinsame Punkte.
Beim Gleichsetzen erkennst du diese Fälle am Ergebnis:
- Eine Lösung wie $x=3$ führt zu genau einem Schnittpunkt.
- Eine falsche Aussage wie $2=5$ bedeutet: keine Lösung.
- Eine immer wahre Aussage wie $0=0$ bedeutet: unendlich viele Lösungen.
Für $f(x)=2x+2$ und $g(x)=2x+5$ entsteht
$$2x+2=2x+5.$$
Nach dem Subtrahieren von $2x$ bleibt
$$2=5.$$
Das ist ein Widerspruch. Die Geraden haben gleiche Steigungen, aber verschiedene Achsenabschnitte. Sie sind parallel und besitzen keinen Schnittpunkt.
Wie entstehen mehrere Schnittpunkte?
Bei nichtlinearen Funktionen kann die Gleichung $f(x)=g(x)$ mehrere reelle Lösungen besitzen. Zu jeder Lösung berechnest du den zugehörigen $y$-Wert.
Gegeben sind
$$f(x)=x$$
und
$$g(x)=x^2-4x+4.$$
Gleichsetzen und auf eine Seite bringen:
$$x=x^2-4x+4$$
$$x^2-5x+4=0$$
Die linke Seite lässt sich faktorisieren:
$$(x-1)(x-4)=0.$$
Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Daher gilt
$$x_1=1$$
oder
$$x_2=4.$$
Mit $f(x)=x$ erhältst du
$$y_1=f(1)=1$$
und
$$y_2=f(4)=4.$$
Die beiden Schnittpunkte sind
$$S_1(1|1)$$
und
$$S_2(4|4).$$
Jede reelle Lösung der Gleichung $f(x)=g(x)$ liefert eine x-Koordinate. Berechne für jede Lösung den passenden y-Wert.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Schnittpunkte berechnen
- Bedeutung: gemeinsamer Punkt beider Graphen
- Start: Funktionsterme gleichsetzen
- Rechnung: alle reellen x-Lösungen bestimmen
- Ergänzung: zu jedem x den y-Wert berechnen
- Kontrolle: beide Funktionsgleichungen prüfen
- Sonderfälle: ein, kein oder unendlich viele Schnittpunkte
Abschluss-Check
Du kannst einen Schnittpunkt sicher bestimmen, wenn du gleichsetzt, alle x-Lösungen findest, die y-Werte berechnest und jeden Punkt prüfst.