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Gleichsetzungsverfahren: LGS einfach lösen
Das Gleichsetzungsverfahren löst ein lineares Gleichungssystem, indem du zwei Ausdrücke für dieselbe Variable gleichsetzt. So bleibt eine Gleichung mit nur einer Unbekannten. Danach setzt du den gefundenen Wert zurück und prüfst das Zahlenpaar in beiden Ausgangsgleichungen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann darfst du zwei Ausdrücke gleichsetzen?
Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht hier aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen. Gesucht ist ein Zahlenpaar, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt.
Gleichsetzungsverfahren
Du formst beide Gleichungen nach derselben Variablen um. Beschreiben beide rechten Seiten zum Beispiel den Wert von $y$, dann müssen diese Ausdrücke an der gemeinsamen Lösung gleich groß sein.
Betrachte
$$\text{I. } y=2x+1$$
$$\text{II. } y=-x+7$$
Beide rechten Seiten beschreiben $y$. Deshalb darfst du $2x+1=-x+7$ setzen.
Nicht erlaubt wäre es, einen Ausdruck für $x$ direkt mit einem Ausdruck für $y$ gleichzusetzen. Aus $y=2x-1$ und $x=y+3$ darfst du also nicht sofort $2x-1=y+3$ bilden. Zuerst müssen beide Gleichungen dieselbe Variable freistellen.
Gleichsetzen darfst du nur Ausdrücke für dieselbe Variable.
So gehst du in fünf Schritten vor
- Stelle beide Gleichungen nach derselben Variablen frei.
- Setze die beiden entstandenen Ausdrücke gleich.
- Löse die neue Gleichung nach der verbleibenden Variablen.
- Setze den Wert in eine Ausgangsgleichung ein und bestimme die zweite Variable.
- Prüfe das Zahlenpaar in beiden Ausgangsgleichungen und notiere es als Punkt $L(x\mid y)$.
Welche Variable du freistellst, ist grundsätzlich frei. Wähle möglichst die Variable, bei der wenige und einfache Umformungen nötig sind.
Gegeben sind $x=7-y$ und $x=2y+1$. Beide Gleichungen sind bereits nach $x$ aufgelöst.
Gleichsetzen:
$$7-y=2y+1$$
Auf beiden Seiten $y$ addieren und dann $1$ abziehen:
$$6=3y$$
Durch $3$ teilen:
$$y=2$$
Rückeinsetzen in $x=7-y$:
$$x=7-2=5$$
Die Lösung lautet $L(5\mid 2)$.
Probe: $5=7-2$ und $5=2\cdot2+1$. Das Zahlenpaar erfüllt beide Gleichungen.
Wie stellst du die Gleichungen zuerst um?
Oft steht die gleiche Variable noch nicht allein. Dann formst du beide Gleichungen mit zulässigen Gegenoperationen um.
Gegeben:
$$\text{I. }2x+y=8$$
$$\text{II. }x-y=1$$
Wir stellen beide Gleichungen nach $x$ frei.
Aus Gleichung I folgt:
$$2x=8-y$$
$$x=4-0{,}5y$$
Aus Gleichung II folgt:
$$x=1+y$$
Nun beschreiben beide rechten Seiten $x$:
$$4-0{,}5y=1+y$$
Auf beiden Seiten $0{,}5y$ addieren und dann $1$ abziehen:
$$3=1{,}5y$$
$$y=2$$
Rückeinsetzen in $x=1+y$ ergibt $x=3$. Also ist $L(3\mid 2)$ die Lösung.
Probe: $2\cdot3+2=8$ und $3-2=1$.
Achte beim Freistellen auf Minuszeichen. Aus $-y=3+2x$ folgt erst nach der Multiplikation beider Seiten mit $-1$ die Gleichung $y=-3-2x$.
Wie deutest du die Lösung in einer Sachsituation?
Zwei lineare Gleichungen können dieselbe Größe auf unterschiedliche Weise beschreiben. Beim Gleichsetzen findest du den Wert, bei dem beide Beschreibungen übereinstimmen.
Tarif A kostet monatlich $12\,€$ Grundgebühr und $1\,€$ pro GB. Tarif B kostet $6\,€$ Grundgebühr und $2\,€$ pro GB.
Dabei ist $x$ die Datenmenge in GB und $y$ sind die monatlichen Kosten in Euro:
$$\text{A: }y=12+x$$
$$\text{B: }y=6+2x$$
Beide Gleichungen sind nach den Kosten $y$ aufgelöst. Deshalb setzt du gleich:
$$12+x=6+2x$$
Ziehe auf beiden Seiten $x$ und danach $6$ ab:
$$6=x$$
Bei $x=6$ gilt $y=12+6=18$. Bei $6\,\text{GB}$ kosten beide Tarife also $18\,€$.
Im Koordinatensystem ist $L(6\mid18)$ der Schnittpunkt der beiden Tarifgeraden.
Ein Schnittpunkt bedeutet: Das zugehörige Zahlenpaar erfüllt beide Gleichungen. Bei Tarifen sind die Koordinaten nicht nur Zahlen; sie tragen die Bedeutungen GB und Euro.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
- Verschiedene Variablen gleichsetzen: Prüfe vor dem Gleichsetzen, ob beide Ausdrücke wirklich dieselbe Variable beschreiben.
- Vorzeichen verlieren: Führe jede Gegenoperation auf beiden Seiten aus.
- Rückeinsetzen vergessen: Nach dem ersten Wert fehlt noch die zweite Koordinate.
- Nur eine Gleichung prüfen: Eine LGS-Lösung muss beide Ausgangsgleichungen erfüllen.
- Kontext vergessen: Bei Sachaufgaben gehören Bedeutung und Einheit zum Ergebnis.
Dein Ergebnis ist erst vollständig, wenn du beide Variablen bestimmt, das Zahlenpaar geprüft und im Sachzusammenhang gedeutet hast.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Gleichsetzungsverfahren
- Voraussetzung: Ausdrücke für dieselbe Variable
- Rechenweg: freistellen, gleichsetzen, lösen
- Danach: rückeinsetzen und prüfen
- Ergebnis: Lösungspunkt beider Gleichungen
- Anwendung: Schnittpunkt zweier Modelle