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Wenn zwei Geraden sich schneiden, haben sie an der Schnittstelle denselben \(x\)-Wert und denselben \(y\)-Wert. Das Gleichsetzungsverfahren nutzt genau diese Idee: Zwei Terme, die beide für \(y\) stehen, werden gleichgesetzt.
- Ich kann erkennen, wann das Gleichsetzungsverfahren passt.
- Ich kann zwei Gleichungen gleichsetzen.
- Ich kann die Lösung in beide Gleichungen einsetzen.
- Ich kann den Schnittpunkt als Ergebnis angeben.
Grundidee
Das Verfahren ist besonders praktisch, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variablen aufgelöst sind.
Gleichsetzungsverfahren
Beim Gleichsetzungsverfahren setzt du zwei Ausdrücke gleich, die dieselbe Variable beschreiben. Danach löst du die entstehende Gleichung.
Gegeben sind \(y=2x+1\) und \(y=x+4\).
Beide rechten Seiten sind gleich \(y\). Deshalb setzt du sie gleich:
\(2x+1=x+4\)
\(x+1=4\)
\(x=3\).
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Den zweiten Wert berechnen
Nach dem ersten Wert bist du noch nicht fertig. Setze \(x\) in eine der Ursprungsgleichungen ein, um \(y\) zu finden.
Aus dem Beispiel ist \(x=3\).
Setze in \(y=x+4\) ein:
\(y=3+4=7\).
Der Schnittpunkt ist \(S(3|7)\).
Probe in der anderen Gleichung: \(2\cdot 3+1=7\).
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen braucht meistens ein Zahlenpaar als Lösung, nicht nur einen einzelnen Wert.
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Vorher umformen
Manchmal steht nicht beide Male \(y=...\) da. Dann löst du eine Gleichung zuerst nach derselben Variablen auf.
Gegeben sind \(y=3x-2\) und \(2y=4x+6\).
Zweite Gleichung durch 2 teilen:
\(y=2x+3\).
Jetzt gleichsetzen: \(3x-2=2x+3\).
\(x=5\).
\(y=3\cdot 5-2=13\).
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Prüfungsmodus
Typische Aufgaben fragen nach „Schnittpunkt“, „Lösung des LGS“ oder „wo sind beide Werte gleich“. Achte darauf, ob die Gleichungen vorbereitet sind.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Das Gleichsetzungsverfahren ist ein klarer Weg für lineare Gleichungssysteme. Bringe beide Gleichungen auf dieselbe Variable, setze die Terme gleich, löse die entstehende Gleichung und berechne anschließend den zweiten Wert.