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Lineare Gleichungssysteme lösen: Verfahren & Übungen
Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Variablen. Gesucht sind Werte, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Bei zwei Variablen ist die Lösung ein geordnetes Zahlenpaar wie $(x|y)$.
Auf dieser Seite lernst du, ein LGS graphisch zu deuten, ein passendes Rechenverfahren auszuwählen, die Lösung zu prüfen und eine Sachsituation als LGS zu beschreiben.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was ist die gemeinsame Lösung?
Betrachte das System
$$x+y=3$$
$$2x+y=4$$
Das Zahlenpaar $(1|2)$ erfüllt beide Gleichungen:
- Erste Gleichung: $1+2=3$
- Zweite Gleichung: $2\cdot1+2=4$
Deshalb ist die Lösungsmenge
$$L=\{(1|2)\}.$$
Geordnetes Zahlenpaar
Im Paar $(x|y)$ steht der erste Wert für $x$ und der zweite für $y$. Die Reihenfolge darfst du nicht vertauschen.
Die graphische Bedeutung
Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade. Die gemeinsamen Lösungspaare des Systems sind die gemeinsamen Punkte der Geraden.
- Ein Schnittpunkt: genau eine Lösung
- Parallele, verschiedene Geraden: keine Lösung
- Dieselbe Gerade: unendlich viele Lösungen
Auch beim Rechnen erkennst du diese Fälle:
- Eine bestimmte Lösung wie $x=1$ führt gewöhnlich zu genau einem Zahlenpaar.
- Ein Widerspruch wie $0=1$ bedeutet: keine Lösung.
- Eine wahre Identität wie $0=0$ bedeutet: Die Gleichungen beschreiben dieselbe Beziehung und es gibt unendlich viele Lösungen.
Eine Lösung muss jede Gleichung des Systems erfüllen. Eine richtige Rechnung in nur einer Gleichung reicht nicht.
Wie wählst du das passende Verfahren?
Alle drei Rechenverfahren verfolgen dasselbe Ziel: Eine Variable wird beseitigt, sodass nur noch eine lineare Gleichung mit einer Variablen übrig bleibt.
- Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung ist bereits nach einer Variablen aufgelöst oder lässt sich leicht so umformen.
- Gleichsetzungsverfahren: Beide Gleichungen sind nach derselben Variablen aufgelöst.
- Additionsverfahren: Eine Variable hat bereits entgegengesetzte Koeffizienten oder diese lassen sich leicht erzeugen.
Jedes Verfahren kann bei korrekter Anwendung zum selben Ergebnis führen. Die Form des Systems entscheidet nur darüber, welcher Weg besonders kurz ist.
Einsetzungsverfahren
Gegeben ist
$$\text{I } y=3x+4$$
$$\text{II } 4y-3x=9$$
Da Gleichung I bereits nach $y$ aufgelöst ist, setzt du $3x+4$ in Gleichung II für $y$ ein:
$$4(3x+4)-3x=9$$
$$12x+16-3x=9$$
$$9x=-7$$
$$x=-\frac{7}{9}$$
Nun setzt du den Wert in Gleichung I ein:
$$y=3\left(-\frac{7}{9}\right)+4=-\frac{7}{3}+\frac{12}{3}=\frac{5}{3}$$
Damit gilt
$$L=\left\{\left(-\frac{7}{9}\middle|\frac{5}{3}\right)\right\}.$$
Gleichsetzungsverfahren
Gegeben ist
$$y=3x+1$$
$$y=-x+1$$
Beide rechten Seiten sind gleich $y$. Deshalb setzt du sie gleich:
$$3x+1=-x+1$$
$$4x=0$$
$$x=0$$
Rückeinsetzen ergibt $y=1$. Also ist
$$L=\{(0|1)\}.$$
Graphisch ist $(0|1)$ der Schnittpunkt der beiden Geraden.
Additionsverfahren
Gegeben ist
$$\text{I } 2x+3y=4$$
$$\text{II } 3x+4y=5$$
Damit sich die $x$-Terme beim Addieren aufheben, multiplizierst du Gleichung I mit $3$ und Gleichung II mit $-2$:
$$6x+9y=12$$
$$-6x-8y=-10$$
Beim Addieren bleibt
$$y=2.$$
Setze $y=2$ in Gleichung I ein:
$$2x+3\cdot2=4$$
$$2x=-2$$
$$x=-1$$
Somit ist
$$L=\{(-1|2)\}.$$
Multiplizierst du eine Gleichung, musst du jeden Term auf beiden Seiten mit demselben Faktor multiplizieren. Besonders häufig entstehen Fehler bei Vorzeichen und Klammern.
Wie prüfst du deine Lösung?
Eine vollständige Probe setzt das geordnete Zahlenpaar in jede Ausgangsgleichung ein.
Für $L=\{(-1|2)\}$ aus dem Additionsbeispiel gilt:
$$2\cdot(-1)+3\cdot2=-2+6=4$$
$$3\cdot(-1)+4\cdot2=-3+8=5$$
Beide Aussagen stimmen. Das Paar ist daher eine Lösung des Systems.
Gehe bei jeder Probe so vor:
- Ordne die Werte den richtigen Variablen zu.
- Setze sie in alle Ausgangsgleichungen ein.
- Berechne beide Seiten jeder Gleichung getrennt.
- Prüfe, ob überall eine wahre Aussage entsteht.
- Notiere die Lösungsmenge als geordnetes Paar.
Eine Probe findet viele Rechen- und Vorzeichenfehler. Sie ersetzt aber nicht die Prüfung des Sachkontexts: Ein rechnerisch richtiges Ergebnis kann beispielsweise eine unmögliche negative Länge ergeben.
Wie entsteht ein LGS aus einer Sachaufgabe?
Mick kauft drei Schokoriegel und zwei Eis für $4{,}80\,€$. Max kauft einen Schokoriegel und zwei Eis für $3{,}00\,€$.
Lege zuerst die Variablen mit ihren Einheiten fest:
- $x$: Preis eines Schokoriegels in Euro
- $y$: Preis eines Eises in Euro
Aus den beiden Einkäufen entstehen die Gleichungen
$$3x+2y=4{,}80$$
$$x+2y=3{,}00.$$
Da die $y$-Terme gleich sind, subtrahierst du die zweite Gleichung von der ersten:
$$2x=1{,}80$$
$$x=0{,}90.$$
Setze den Riegelpreis in die zweite Gleichung ein:
$$0{,}90+2y=3{,}00$$
$$2y=2{,}10$$
$$y=1{,}05.$$
Ein Schokoriegel kostet $0{,}90\,€$, ein Eis $1{,}05\,€$.
Die Probe bestätigt beide Einkäufe:
$$3\cdot0{,}90+2\cdot1{,}05=4{,}80$$
$$0{,}90+2\cdot1{,}05=3{,}00.$$
Bei Sachaufgaben folgt nach der Rechnung eine Kontextprüfung: Stimmen Einheit, Vorzeichen, Größenordnung und gegebenenfalls Ganzzahligkeit? Passt das Ergebnis zur beschriebenen Situation?
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Lineare Gleichungssysteme
- Bedeutung
- Alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen
- Lösung als geordnetes Paar
- Darstellung
- Geraden und Schnittpunkte
- Eine, keine oder unendlich viele Lösungen
- Rechenverfahren
- Einsetzen
- Gleichsetzen
- Addieren
- Kontrolle
- Probe in allen Gleichungen
- Einheit und Sachkontext prüfen
- Bedeutung
Abschluss-Check
Du kannst ein LGS nun als gemeinsame Bedingung verstehen, ein zweckmäßiges Verfahren auswählen, das Ergebnis durch Einsetzen prüfen und zwischen mathematischer und sinnvoller Sachlösung unterscheiden.