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Wenn zwei Bedingungen gleichzeitig gelten sollen, reicht eine Gleichung oft nicht mehr. Mit linearen Gleichungssystemen findest du Werte, die zu beiden Aussagen passen.
- Ich kann ein lineares Gleichungssystem als zwei Geraden oder zwei Bedingungen deuten.
- Ich kann Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren passend auswählen.
- Ich kann eine Lösung einsetzen und als Zahlenpaar prüfen.
- Ich kann typische Fehler erkennen und mein Ergebnis prüfen.
Grundidee
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit denselben Variablen. Gesucht ist ein Zahlenpaar, das alle Gleichungen gleichzeitig wahr macht. Im Koordinatensystem ist das der Schnittpunkt der Geraden.
Lineares Gleichungssystem
Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, enthält mindestens zwei lineare Gleichungen mit denselben Unbekannten. Bei zwei Variablen ist die Lösung meist ein Punkt \((x|y)\). Es kann genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen geben.
\((I)\ y=x+1\) und \((II)\ y=5-x\). Gleichsetzen liefert \(x+1=5-x\), also \(2x=4\) und \(x=2\). Dann ist \(y=3\). Die Lösung ist \((2|3)\).
Eine Lösung eines LGS muss in jede Gleichung passen, nicht nur in eine.
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Vorgehen Schritt für Schritt
Wähle das Verfahren nach der Form der Gleichungen. Sind beide nach derselben Variablen aufgelöst, setzt du gleich. Ist eine Variable schon allein, setzt du ein. Haben zwei Terme Gegenzahlen, addierst du.
\((I)\ 2x+y=11\) und \((II)\ x-y=1\). Addiere beide Gleichungen: \(3x=12\), also \(x=4\). Setze in \((II)\) ein: \(4-y=1\), also \(y=3\). Probe: \(2\cdot4+3=11\) und \(4-3=1\).
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Typische Fehler und Prüfungsmodus
In Klassenarbeiten geht es oft nicht nur um Rechnen. Du musst entscheiden, welches Verfahren passt, und Sonderfälle erkennen.
Parallele Geraden haben keine gemeinsame Lösung. Identische Geraden haben unendlich viele Lösungen. Rechnerisch erkennst du das an Aussagen wie \(0=5\) oder \(0=0\).
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Lineare Gleichungssysteme lösen heißt: Werte finden, die mehrere lineare Aussagen gleichzeitig erfüllen. Wähle das einfachste Verfahren, rechne sauber, und prüfe dein Zahlenpaar in allen Gleichungen.