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Mit dem Gauß-Verfahren löst du mehrere lineare Gleichungen geordnet, statt herumzuprobieren. Nach dieser Seite kannst du ein Gleichungssystem in Stufenform bringen und rückwärts ausrechnen.
- Ich kann erklären, wozu das Gauß-Verfahren dient.
- Ich kann erlaubte Zeilenumformungen nennen.
- Ich kann ein lineares Gleichungssystem in Stufenform bringen.
- Ich kann durch Rückwärtseinsetzen lösen.
- Ich kann Sonderfälle wie keine oder unendlich viele Lösungen erkennen.
Grundidee
Die Idee ist wie Aufräumen: Du beseitigst Variable für Variable. Am Ende steht unten eine einfache Gleichung, daraus arbeitest du dich nach oben zurück.
Gauß-Verfahren
Das Gauß-Verfahren ist ein systematisches Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Du formst Gleichungen so um, dass unter der Hauptdiagonale Nullen entstehen.
Löse das System \(x+y=5\) und \(2x-y=4\).
- Addiere beide Gleichungen: \((x+y)+(2x-y)=5+4\).
- Es entsteht \(3x=9\).
- Also \(x=3\).
- Setze in \(x+y=5\) ein: \(3+y=5\), also \(y=2\).
Die Lösung ist \((3|2)\).
Du darfst Gleichungen vertauschen, eine Gleichung mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren und ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addieren.
Schritt für Schritt
In der erweiterten Koeffizientenmatrix schreibst du nur die Zahlen vor den Variablen und die rechte Seite. Ziel ist Stufenform: In jeder tieferen Zeile beginnt die erste von 0 verschiedene Zahl weiter rechts.
Löse das System \(x+y+z=6\), \(2x+y-z=3\), \(x-y+2z=7\) mit Stufenform.
- Matrix: erste Zeile \(1,1,1|6\).
- Zeile 2 minus 2 mal Zeile 1 ergibt \(0,-1,-3|-9\).
- Zeile 3 minus Zeile 1 ergibt \(0,-2,1|1\).
- Zeile 3 minus 2 mal Zeile 2 ergibt \(0,0,7|19\).
- Rückwärts: \(7z=19\), also \(z=\frac{19}{7}\).
- Dann \(-y-3\cdot\frac{19}{7}=-9\), also \(y=\frac{6}{7}\).
- In \(x+y+z=6\) folgt \(x+\frac{6}{7}+\frac{19}{7}=6\), also \(x=\frac{17}{7}\).
Probe in der zweiten Gleichung: \(2\cdot\frac{17}{7}+\frac{6}{7}-\frac{19}{7}=\frac{21}{7}=3\).
Wenn unten eine Zeile wie \(0=5\) entsteht, gibt es keine Lösung. Wenn eine Nullzeile entsteht und eine Variable frei bleibt, kann es unendlich viele Lösungen geben.
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Typische Fehler erkennen
Häufig werden Zeilenumformungen nur links durchgeführt und rechts vergessen. Jede Umformung gilt immer für die ganze Gleichung, also auch für die rechte Seite.
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Prüfungsmodus
Schreibe in Prüfungen jede Zeilenoperation knapp daneben. So findest du Vorzeichenfehler schneller und kannst nachweisen, dass deine Umformungen erlaubt waren.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
- Das Gauß-Verfahren löst lineare Gleichungssysteme systematisch.
- Erlaubte Zeilenumformungen erhalten die Lösung.
- Stufenform macht Rückwärtseinsetzen möglich.
- Nullzeilen und Widerspruchszeilen zeigen Sonderfälle.