Gauß-Verfahren: LGS Schritt für Schritt lösen

Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit denselben Variablen. Beim Gauß-Verfahren notierst du nur ihre Koeffizienten und rechten Seiten.

Zum Beispiel gehört zum LGS

$$\begin{aligned} x-2y&=4,\\ -y-z&=-1,\\ -x+y+3z&=-1 \end{aligned}$$

die Matrix

$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1&-2&0&4\\ 0&-1&-1&-1\\ -1&1&3&-1 \end{array}\right).$$

Die Spalten stehen in der festen Reihenfolge $x,y,z$. In der ersten Gleichung fehlt $z$, deshalb steht dort der Koeffizient $0$. Vor $x$ steht unsichtbar der Koeffizient $1$, vor $-y$ der Koeffizient $-1$.

Du darfst Zeilen so umformen, dass die Lösungsmenge gleich bleibt:

1. zwei Zeilen vertauschen;
2. eine Zeile mit einer Zahl ungleich $0$ multiplizieren oder durch sie dividieren;
3. ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren.

Die Schreibweise $Z_3\leftarrow Z_3+Z_1$ bedeutet: Ersetze die dritte Zeile durch die Summe aus dritter und erster Zeile. Alle anderen Zeilen bleiben unverändert.

In der Beispielmatrix ist die $1$ oben links ein günstiger erster Pivot. Mit

$$Z_3\leftarrow Z_3+Z_1$$

wird der Eintrag $-1$ darunter zu $0$:

$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1&-2&0&4\\ 0&-1&-1&-1\\ 0&-1&3&3 \end{array}\right).$$

Nun ist $-1$ in der zweiten Zeile der nächste Pivot. Mit

$$Z_3\leftarrow Z_3-Z_2$$

entsteht auch darunter eine Null:

$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1&-2&0&4\\ 0&-1&-1&-1\\ 0&0&4&4 \end{array}\right).$$

Das ist eine Zeilenstufenform. Die führenden Einträge liegen stufenartig weiter rechts, und unter ihnen stehen Nullen.

Die Stufenmatrix des Beispiels entspricht wieder Gleichungen:

$$\begin{aligned} x-2y&=4,\\ -y-z&=-1,\\ 4z&=4. \end{aligned}$$

Jetzt beginnt das Rückwärtseinsetzen in der untersten Gleichung:

$$4z=4\quad\Rightarrow\quad z=1.$$

Setze $z=1$ in die Gleichung darüber ein:

$$-y-1=-1\quad\Rightarrow\quad y=0.$$

Setze danach $y=0$ in die erste Gleichung ein:

$$x-2\cdot0=4\quad\Rightarrow\quad x=4.$$

Damit ist die Lösungsmenge

$$L=\{(4;0;1)\}.$$

Eine Probe im ursprünglichen LGS schützt vor Rechenfehlern:

$$4-2\cdot0=4, \qquad -0-1=-1, \qquad -4+0+3\cdot1=-1.$$

Alle drei Aussagen stimmen. Das Zahlentripel löst also wirklich jede Ausgangsgleichung.

Beim Gauß-Jordan-Verfahren eliminierst du zusätzlich die Einträge oberhalb jedes Pivots und normierst die Pivots auf $1$. Bei einer eindeutigen Lösung steht links schließlich die Einheitsmatrix; die Werte lassen sich dann direkt rechts ablesen. Für das gewöhnliche Gauß-Verfahren genügt die Stufenform mit anschließendem Rückwärtseinsetzen.

Die Stufenform zeigt nicht immer drei Pivotpositionen. Achte besonders auf Zeilen, deren linke Seite nur aus Nullen besteht.

Genau eine Lösung

Gibt es für jede Variable eine Pivotposition und keinen Widerspruch, werden alle Variablen eindeutig bestimmt. Das war im vollständigen Beispiel der Fall.

Keine Lösung

Eine Zeile der Form

$$\left(0\quad0\quad0\mid2\right)$$

bedeutet $0=2$. Das ist unmöglich. Deshalb besitzt das gesamte LGS keine Lösung:

$$L=\varnothing.$$

Unendlich viele Lösungen

Eine Nullzeile

$$\left(0\quad0\quad0\mid0\right)$$

bedeutet nur $0=0$ und liefert keine neue Bedingung. Fehlt dadurch mindestens eine Pivotposition und gibt es keinen Widerspruch, darfst du eine Variable frei wählen.

Zum Beispiel führt die Stufenform

$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1&1&1&0\\ 0&-3&1&2\\ 0&0&0&0 \end{array}\right)$$

mit $y=t$ und $t\in\mathbb R$ zu

$$z=2+3t$$

und

$$x=-y-z=-t-(2+3t)=-4t-2.$$

Damit lautet die Lösungsmenge

$$L=\{(-4t-2;\,t;\,2+3t)\mid t\in\mathbb R\}.$$

Löse das LGS mit dem Gauß-Verfahren:

$$\begin{aligned} x+2y-z&=2,\\ x+y+2z&=9,\\ 2x+3y-3z&=-1. \end{aligned}$$

Ein möglicher Plan ist:

1. Übertrage das LGS in eine erweiterte Koeffizientenmatrix.
2. Rechne $Z_2\leftarrow Z_2-Z_1$ und $Z_3\leftarrow Z_3-2Z_1$.
3. Eliminiere danach den $y$-Eintrag in der dritten Zeile.
4. Setze rückwärts ein und mache die Probe.