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Wenn ein lineares Gleichungssystem genau so viele Gleichungen wie Unbekannte hat, kann die Cramersche Regel eine elegante Abkürzung sein. Sie ersetzt Spalten durch die rechte Seite und nutzt Determinanten.
- Ich kann das Thema Cramersche Regel in eigenen Worten erklären.
- Ich kann typische Aufgaben zu diesem Thema Schritt für Schritt lösen.
- Ich kann wichtige Begriffe erkennen und voneinander unterscheiden.
- Ich kann meine Rechnung oder Entscheidung mit einer Probe kontrollieren.
Worum es geht
Du startest mit \(A\vec x=\vec b\). Ist \(\det(A)\neq0\), gibt es genau eine Lösung. Für jede Unbekannte ersetzt du in \(A\) die passende Spalte durch \(\vec b\) und teilst die neue Determinante durch \(\det(A)\).
Cramersche Regel
Die Cramersche Regel löst quadratische lineare Gleichungssysteme mit \(\det(A)\neq0\) durch Quotienten von Determinanten.
Cramer funktioniert nur direkt, wenn die Koeffizientenmatrix quadratisch ist und ihre Determinante nicht 0 ist.
Schritt für Schritt
Schreibe das System als Matrix. Berechne zuerst \(D=\det(A)\). Für \(x\) ersetzt du die x-Spalte durch die Ergebniswerte und berechnest \(D_x\). Dann gilt \(x=\frac{D_x}{D}\); genauso für die anderen Variablen.
Löse \(2x+y=7\) und \(x-y=2\).
\(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}\), also \(D=2\cdot(-1)-1\cdot1=-3\).
\(D_x=\begin{vmatrix}7&1\\2&-1\end{vmatrix}=7\cdot(-1)-1\cdot2=-9\), also \(x=\frac{-9}{-3}=3\).
\(D_y=\begin{vmatrix}2&7\\1&2\end{vmatrix}=4-7=-3\), also \(y=1\).
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Typische Fehler vermeiden
Der häufigste Fehler ist, die falsche Spalte zu ersetzen. Ersetze für \(x_2\) wirklich die zweite Spalte, nicht die zweite Zeile.
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Prüfungsmodus
Prüfe zuerst die Determinante. Wenn sie 0 ist, musst du ein anderes Lösungsverfahren oder eine Fallunterscheidung nutzen.
Probe für das Beispiel: \(2\cdot3+1=7\) und \(3-1=2\). Beide Gleichungen stimmen, also ist \((3,1)\) die Lösung.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Die Cramersche Regel ist ein klares Verfahren für quadratische lineare Gleichungssysteme mit nichtverschwindender Determinante. Stärke sie in Prüfungen durch sauberes Spaltenersetzen und eine kurze Probe.