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Cramersche Regel: LGS mit Determinanten lösen
Mit der Cramerschen Regel löst du ein quadratisches lineares Gleichungssystem mithilfe von Determinanten. Für jede gesuchte Variable ersetzt du genau eine Spalte der Koeffizientenmatrix durch die rechte Seite. Das Verfahren funktioniert in Quotientenform nur, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix nicht null ist.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was brauchst du für die Regel?
Betrachte das lineare Gleichungssystem
$$ax+by=e$$
$$cx+dy=f$$
Die Zahlen vor den Variablen bilden die Koeffizientenmatrix $A$. Die rechten Seiten bilden den Vektor $b$:
$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix}$$
Determinante
Die Determinante ist eine Zahl, die zu einer quadratischen Matrix gehört. Für eine $2\times2$-Matrix gilt:
$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-cb$$
Du rechnest also das Produkt der Hauptdiagonale minus das Produkt der Nebendiagonale.
Die Cramersche Regel benötigt ebenso viele Gleichungen wie Unbekannte. Außerdem muss gelten:
$$\det(A)\neq0$$
Dann besitzt das System genau eine Lösung.
Wie funktioniert die Cramersche Regel?
Für die Variable $x$ ersetzt du die erste Spalte von $A$ durch die rechte Seite. Für $y$ ersetzt du die zweite Spalte:
$$A_x=\begin{pmatrix}e&b\\f&d\end{pmatrix},\qquad A_y=\begin{pmatrix}a&e\\c&f\end{pmatrix}$$
Danach berechnest du drei Determinanten und bildest zwei Quotienten:
$$x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)},\qquad y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}$$
Der Index verrät die zu ersetzende Spalte: Für $x$ ersetzt du die $x$-Spalte, für $y$ die $y$-Spalte. Alle anderen Spalten bleiben unverändert.
Für ein System $Ax=b$ mit $n$ Variablen lautet die allgemeine Regel:
$$x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$
Dabei entsteht $A_i$, indem du ausschließlich die $i$-te Spalte von $A$ durch $b$ ersetzt.
Wie sieht eine vollständige Rechnung aus?
Gegeben ist
$$x+2y=3$$
$$4x+5y=6$$
1. Matrizen aufstellen
$$A=\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}$$
2. Nennerdeterminante berechnen
$$\det(A)=1\cdot5-4\cdot2=-3$$
Weil $-3\neq0$ ist, darfst du die Cramersche Regel verwenden.
3. Erste Spalte für $x$ ersetzen
$$A_x=\begin{pmatrix}3&2\\6&5\end{pmatrix}$$
$$\det(A_x)=3\cdot5-6\cdot2=3$$
$$x=\frac{3}{-3}=-1$$
4. Zweite Spalte für $y$ ersetzen
$$A_y=\begin{pmatrix}1&3\\4&6\end{pmatrix}$$
$$\det(A_y)=1\cdot6-4\cdot3=-6$$
$$y=\frac{-6}{-3}=2$$
5. Ergebnis durch Einsetzen prüfen
$$1\cdot(-1)+2\cdot2=3$$
$$4\cdot(-1)+5\cdot2=6$$
Beide Gleichungen stimmen. Die Lösung ist daher $(-1;2)$.
Warum funktioniert das Verfahren?
Schreibe die Spalten von $A$ als $a_1$ und $a_2$. Aus $Ax=b$ folgt bei der Lösung $(x;y)$:
$$b=xa_1+ya_2$$
Für $A_x$ wird die erste Spalte durch diese Summe ersetzt. Die Determinante ist in jeder Spalte linear. Deshalb zerfällt die Rechnung in einen Anteil mit $xa_1$ und einen Anteil mit $ya_2$.
Der zweite Anteil besitzt zweimal die Spalte $a_2$. Eine Matrix mit zwei gleichen Spalten hat die Determinante null. Somit bleibt nur
$$\det(A_x)=x\det(A)$$
übrig. Weil $\det(A)\neq0$ ist, darfst du teilen und erhältst
$$x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}$$
Für die zweite Spalte funktioniert die Begründung entsprechend.
Die Cramersche Regel zeigt damit nicht nur einen Rechenweg. Sie erklärt auch, wie jede einzelne Lösungskomponente von den Koeffizienten und den rechten Seiten abhängt.
Was passiert bei einer Determinante von null?
Ist $\det(A)=0$, darfst du die Quotienten
$$\frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$
nicht bilden. Die Cramersche Quotientenregel entscheidet dann nicht, ob das System keine Lösung oder unendlich viele Lösungen besitzt.
Aus $\det(A)=0$ folgt nicht automatisch „keine Lösung“. Es folgt nur: Die Cramersche Quotientenform ist nicht anwendbar und das System hat keine eindeutige Lösung.
Für größere Systeme müssen bei Cramer insgesamt $n+1$ Determinanten berechnet werden. Deshalb ist die Regel theoretisch übersichtlich, aber als allgemeines Rechenverfahren oft aufwendiger als ein Eliminationsverfahren.
Kannst du die Regel selbst anwenden?
Löse das System mit der Cramerschen Regel:
$$x+3y=5$$
$$2x+4y=6$$
Berechne zuerst $\det(A)$. Bilde danach $A_x$ und $A_y$. Prüfe dein Ergebnis durch Einsetzen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Cramersche Regel
- Voraussetzungen
- quadratische Koeffizientenmatrix
- Determinante nicht null
- Vorbereitung
- Koeffizientenmatrix $A$
- rechte Seite $b$
- Berechnung
- passende Spalte ersetzen
- Determinanten bestimmen
- Quotienten bilden
- Kontrolle
- Lösung einsetzen
- beide Gleichungen prüfen
- Grenzen
- keine Division bei $\det(A)=0$
- hoher Aufwand bei großen Systemen
- Voraussetzungen