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Determinante berechnen: Regeln und Beispiele
Die Determinante ist eine Zahl, die zu einer quadratischen Matrix gehört. Sie zeigt unter anderem, ob die Matrix invertierbar ist: Genau dann, wenn $\det(A) \ne 0$ gilt, besitzt $A$ eine inverse Matrix.
Auf dieser Seite lernst du, Determinanten kleiner Matrizen zu berechnen, für größere Matrizen Laplace zu nutzen und wichtige Eigenschaften sicher anzuwenden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was sagt die Determinante aus?
Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert, also für Matrizen mit gleich vielen Zeilen und Spalten. Man schreibt $\det(A)$ oder $|A|$.
Determinante
Die Determinante ordnet jeder quadratischen Matrix $A$ genau eine Zahl zu. Geometrisch beschreibt ihr Betrag, mit welchem Faktor eine lineare Abbildung Flächen beziehungsweise Volumen skaliert.
Der Wert liefert drei wichtige Informationen:
- $|\det(A)|$ ist der Skalierungsfaktor für Flächen beziehungsweise Volumen.
- Ein positives Vorzeichen bedeutet, dass die Orientierung erhalten bleibt; ein negatives Vorzeichen zeigt einen Orientierungswechsel an.
- Bei $\det(A)=0$ wird der Raum auf eine niedrigere Dimension zusammengedrückt.
Ist $\det(A)=0$, sind die Spalten linear abhängig, bilden keine Basis und die Matrix ist nicht invertierbar. Bei $\det(A)\ne0$ ist die Matrix invertierbar.
Für ein quadratisches lineares Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix $A$ bedeutet $\det(A)\ne0$: Das System ist eindeutig lösbar.
Wie berechnest du eine 2×2-Determinante?
Für
$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$
gilt
$$\det(A)=ad-bc.$$
Du multiplizierst zuerst die Einträge der Hauptdiagonale von links oben nach rechts unten. Davon ziehst du das Produkt der anderen Diagonale ab.
Für $A=\begin{pmatrix}2&4\\6&-3\end{pmatrix}$ rechnest du:
$$\det(A)=2\cdot(-3)-4\cdot6=-6-24=-30.$$
Die Determinante ist also $-30$. Weil sie nicht null ist, ist $A$ invertierbar.
Bei einer $2\times2$-Matrix gilt immer: Hauptdiagonalprodukt minus Nebendiagonalprodukt. Achte besonders auf negative Einträge.
Wie funktioniert die Regel von Sarrus?
Für eine $3\times3$-Matrix kannst du die Regel von Sarrus verwenden. Dabei addierst du drei Produkte in einer Diagonalrichtung und ziehst drei Produkte in der Gegenrichtung ab. Sarrus gilt nur für $3\times3$-Matrizen.
Für $A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$ lautet die Formel:
$$\det(A)=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.$$
Gegeben ist
$$A=\begin{pmatrix}4&5&3\\3&-2&1\\0&3&1\end{pmatrix}.$$
Die drei addierten Produkte ergeben
$$4\cdot(-2)\cdot1+5\cdot1\cdot0+3\cdot3\cdot3=-8+0+27.$$
Die drei abzuziehenden Produkte ergeben
$$3\cdot(-2)\cdot0+5\cdot3\cdot1+4\cdot1\cdot3=0+15+12.$$
Damit gilt
$$\det(A)=-8+0+27-0-15-12=-8.$$
Wie berechnest du größere Determinanten?
Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz zerlegst du eine Determinante in kleinere Determinanten. Wähle dafür möglichst eine Zeile oder Spalte mit vielen Nullen.
Streichst du bei $a_{ij}$ die Zeile $i$ und die Spalte $j$, erhältst du die Untermatrix $M_{ij}$. Das Vorzeichen folgt einem Schachbrettmuster:
$$\begin{pmatrix}+&-&+&\cdots\\-&+&-&\cdots\\+&-&+&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}.$$
Bei der Entwicklung nach Zeile $i$ gilt:
$$\det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).$$
Gegeben ist
$$A=\begin{pmatrix}1&3&8\\-2&5&0\\4&6&7\end{pmatrix}.$$
Wir entwickeln nach der zweiten Zeile, weil sie eine Null enthält. Für den ersten Eintrag ist
$$\det(M_{21})=\det\begin{pmatrix}3&8\\6&7\end{pmatrix}=3\cdot7-8\cdot6=-27.$$
Das Vorzeichen an Position $(2,1)$ ist negativ. Der erste Beitrag lautet deshalb $(-2)\cdot(-1)\cdot(-27)=-54$.
Für den zweiten Eintrag gilt
$$\det(M_{22})=\det\begin{pmatrix}1&8\\4&7\end{pmatrix}=1\cdot7-8\cdot4=-25.$$
Das Vorzeichen an Position $(2,2)$ ist positiv. Der zweite Beitrag ist $5\cdot(-25)=-125$. Der Nullterm entfällt. Also:
$$\det(A)=-54-125=-179.$$
Alternativ kannst du eine Matrix mit Gauß-Operationen in obere Dreiecksform bringen. Dann ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge. Dabei musst du Zeilentausch und Zeilenskalierung mitführen; nur das Addieren eines Zeilenvielfachen zu einer anderen Zeile lässt die Determinante unverändert.
Welche Regeln sparen Rechenarbeit?
Für quadratische $n\times n$-Matrizen gelten diese Regeln:
- $\det(A^T)=\det(A)$: Transponieren ändert die Determinante nicht.
- $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.
- Für invertierbares $A$ gilt $\det(A^{-1})=1/\det(A)$.
- $\det(\lambda A)=\lambda^n\det(A)$, wenn die ganze Matrix mit $\lambda$ multipliziert wird.
- Vertauschst du zwei Zeilen oder zwei Spalten, wechselt das Vorzeichen.
- Multiplizierst du genau eine Zeile oder Spalte mit $\lambda$, wird auch die Determinante mit $\lambda$ multipliziert.
- Addierst du zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile, bleibt die Determinante unverändert. Dasselbe gilt für Spalten.
Unterscheide genau: Eine einzelne Zeile mit $\lambda$ zu multiplizieren erzeugt den Faktor $\lambda$. Die ganze $n\times n$-Matrix mit $\lambda$ zu multiplizieren erzeugt den Faktor $\lambda^n$.
Du kannst $\det(A)=0$ oft ohne Rechnung erkennen. Das gilt bei einer Nullzeile oder Nullspalte, bei zwei gleichen Zeilen oder Spalten und bei einer Zeile oder Spalte, die eine Linearkombination anderer ist.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Determinante
- Bedeutung: Betrag als Skalierungsfaktor, Vorzeichen als Orientierung
- Nullwert: lineare Abhängigkeit und keine Inverse
- Kleine Matrizen: $2\times2$-Formel und Sarrus
- Größere Matrizen: Laplace oder Gauß mit Buchführung
- Rechenregeln: Produkt, Transposition, Skalierung und Zeilenoperationen
- Anwendung: Invertierbarkeit und eindeutige Lösbarkeit prüfen