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Matrizen verstehen und sicher berechnen
Matrizen ordnen Zahlen oder Variablen in Zeilen und Spalten. Du kannst mit ihnen viele zusammengehörige Werte übersichtlich speichern und gemeinsam verarbeiten. Entscheidend ist dabei die Dimension: Sie zeigt dir, welche Rechnung möglich ist und welche Form das Ergebnis hat.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Aufbau und besondere Matrizen
Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten hat die Dimension $m\times n$. Die Zeilenzahl steht immer zuerst.
Die Matrix
$$A=\begin{pmatrix}1&5&7\\3&4&2\end{pmatrix}$$
hat zwei Zeilen und drei Spalten. Sie ist also eine $2\times3$-Matrix.
Der Eintrag $a_{ij}$ steht in Zeile $i$ und Spalte $j$. Daher gilt hier $a_{21}=3$: zuerst gehst du zur zweiten Zeile, dann zur ersten Spalte.
Bei $a_{ij}$ nennt der erste Index die Zeile, der zweite die Spalte. Bei $m\times n$ gilt dieselbe Reihenfolge.
Einige Matrixformen erkennst du an ihrem Aufbau:
- Eine quadratische Matrix hat gleich viele Zeilen und Spalten.
- Eine Nullmatrix enthält ausschließlich Nullen.
- Eine Diagonalmatrix ist quadratisch und enthält außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen.
- Eine Einheitsmatrix besitzt Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen außerhalb, zum Beispiel $E_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
Addieren und mit einer Zahl multiplizieren
Du darfst zwei Matrizen nur dann addieren oder subtrahieren, wenn sie dieselbe Dimension haben. Danach verrechnest du jeweils die Einträge an derselben Position.
Für
$$A=\begin{pmatrix}1&3\\-1&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&5\\3&1\end{pmatrix}$$
gilt:
$$A+B=\begin{pmatrix}1+2&3+5\\-1+3&2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&8\\2&3\end{pmatrix}.$$
Jeder Eintrag bleibt an seiner Position. Deshalb hat das Ergebnis wieder die Dimension $2\times2$.
Eine einzelne Zahl vor einer Matrix heißt Skalar. Bei der Skalarmultiplikation multiplizierst du jeden Matrixeintrag mit dieser Zahl.
$$-3\begin{pmatrix}4&2\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12&-6\\0&3\end{pmatrix}.$$
Achte besonders auf das letzte Vorzeichen: $-3\cdot(-1)=3$.
Eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren
Ein Spaltenvektor ist eine Matrix mit genau einer Spalte. Eine $m\times n$-Matrix kann mit einem Spaltenvektor aus $n$ Einträgen multipliziert werden. Das Ergebnis besitzt $m$ Einträge.
Für jeden Ergebniseintrag multiplizierst du eine Matrixzeile mit dem Vektor: passende Zahlen paarweise multiplizieren, dann die Produkte addieren.
Gegeben sind
$$A=\begin{pmatrix}3&2&1\\1&0&2\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}.$$
$A$ hat drei Spalten und $x$ drei Einträge. Das Produkt ist daher möglich. Weil $A$ zwei Zeilen hat, erhältst du zwei Ergebniswerte:
$$Ax=\begin{pmatrix}3\cdot1+2\cdot0+1\cdot4\\1\cdot1+0\cdot0+2\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\9\end{pmatrix}.$$
Für $(m\times n)(n\times1)$ stimmen die inneren Zahlen überein. Das Ergebnis hat die äußere Dimension $m\times1$.
Zwei Matrizen multiplizieren
Für $A$ mit Dimension $m\times n$ und $B$ mit Dimension $n\times k$ ist $AB$ definiert. Die beiden inneren Dimensionen müssen übereinstimmen:
$$(m\times n)(n\times k)\longrightarrow m\times k.$$
Jeder Ergebniseintrag entsteht nach dem Prinzip Zeile mal Spalte.
$$A=\begin{pmatrix}3&2&1\\1&0&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\4&0\end{pmatrix}.$$
Die Dimensionen sind $(2\times3)(3\times2)$. Das Produkt hat daher die Dimension $2\times2$.
$$AB=\begin{pmatrix}3\cdot1+2\cdot0+1\cdot4&3\cdot2+2\cdot1+1\cdot0\\1\cdot1+0\cdot0+2\cdot4&1\cdot2+0\cdot1+2\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&8\\9&2\end{pmatrix}.$$
Für den Eintrag oben rechts verwendest du also die erste Zeile von $A$ und die zweite Spalte von $B$.
Die Reihenfolge ist wichtig. Im Allgemeinen gilt $AB\ne BA$. Manchmal ist nur eine der beiden Reihenfolgen möglich; manchmal sind beide möglich, liefern aber Matrizen anderer Dimension oder mit anderen Einträgen.
Transponieren und Gleichungssysteme darstellen
Beim Transponieren vertauschst du Zeilen und Spalten. Aus einer $m\times n$-Matrix $A$ wird eine $n\times m$-Matrix $A^T$.
$$\begin{pmatrix}2&3\\5&1\end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix}2&5\\3&1\end{pmatrix}.$$
Die erste Zeile $(2,3)$ wird zur ersten Spalte. Bei einer quadratischen Matrix bleibt die Dimension gleich, obwohl sich Einträge verschieben können.
Matrizen können außerdem lineare Gleichungssysteme kompakt darstellen. In $Ax=b$ enthält $A$ die Koeffizienten, $x$ die Variablen und $b$ die rechten Seiten.
Das Gleichungssystem
$$\begin{aligned}-x_1+2x_2+0x_3&=0,\\x_1+x_2+x_3&=34,\\10x_1+5x_2+x_3&=100\end{aligned}$$
lässt sich schreiben als
$$\begin{pmatrix}-1&2&0\\1&1&1\\10&5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\34\\100\end{pmatrix}.$$
Die erste Matrix bewahrt die Koeffizienten in ihrer ursprünglichen Zeilen- und Variablenreihenfolge. Der rechte Vektor enthält die Werte hinter den Gleichheitszeichen.
Matrizen dienen nicht nur zum Rechnen. Sie können auch Datentabellen, Pixelwerte oder Übergänge zwischen Zuständen darstellen. Wie du eine Übergangsmatrix aufstellst und mehrere Prozessschritte untersuchst, hängt von der konkreten Anwendung ab.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Matrizen
- Aufbau: Zeilen, Spalten, Dimension und Einträge
- Spezialformen: Null-, Diagonal- und Einheitsmatrix
- Eintragsweise: Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation
- Produkte: innere Dimensionen und Zeile-mal-Spalte-Prinzip
- Transposition: Zeilen und Spalten tauschen
- Anwendung: Daten und lineare Gleichungssysteme darstellen
Abschluss-Check
Wenn du unsicher bist, prüfe zuerst die Dimensionen. Entscheide danach, ob du eintragsweise rechnest oder das Zeile-mal-Spalte-Prinzip brauchst. Diese Entscheidung verhindert die häufigsten Fehler.