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Eine inverse Matrix macht bei Matrizen etwas Ähnliches wie der Kehrwert bei Zahlen. Nach dieser Seite verstehst du, wann eine Matrix invertierbar ist und wie du eine einfache inverse Matrix berechnest.
- Ich kann erklären, was eine inverse Matrix ist.
- Ich kann die Einheitsmatrix erkennen.
- Ich kann bei einer 2-mal-2-Matrix die Determinante prüfen.
- Ich kann eine einfache inverse Matrix berechnen.
- Ich kann mit Multiplikation kontrollieren.
Grundidee
Bei Zahlen hebt \(\frac{1}{3}\) die Multiplikation mit 3 auf. Bei Matrizen übernimmt die inverse Matrix diese Rückwärtswirkung, aber nur wenn sie existiert.
Inverse Matrix
Die inverse Matrix \(A^{-1}\) zu einer quadratischen Matrix \(A\) erfüllt \(A\cdot A^{-1}=I\). Dabei ist \(I\) die Einheitsmatrix mit Einsen auf der Diagonale und Nullen sonst.
Für \(A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\) gilt bei 2-mal-2-Matrizen: Determinante \(ad-bc\).
- \(a=2\), \(b=1\), \(c=5\), \(d=3\).
- \(ad-bc=2\cdot3-1\cdot5=1\).
- Die Determinante ist nicht 0, also ist die Matrix invertierbar.
- \(A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\).
Eine quadratische Matrix ist nur dann invertierbar, wenn ihre Determinante nicht 0 ist.
Schritt für Schritt
Für größere Matrizen nutzt du häufig Gauß-Jordan: Schreibe links \(A\) und rechts die Einheitsmatrix. Forme links zu \(I\) um. Dann steht rechts \(A^{-1}\).
Kontrolliere die inverse Matrix aus dem Beispiel.
\(\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\)
- Links oben: \(2\cdot3+1\cdot(-5)=1\).
- Rechts oben: \(2\cdot(-1)+1\cdot2=0\).
- Links unten: \(5\cdot3+3\cdot(-5)=0\).
- Rechts unten: \(5\cdot(-1)+3\cdot2=1\).
Das Ergebnis ist die Einheitsmatrix.
Die Reihenfolge der Matrixmultiplikation ist wichtig. Für inverse Matrizen muss bei quadratischen Matrizen sowohl \(A\cdot A^{-1}\) als auch \(A^{-1}\cdot A\) die Einheitsmatrix ergeben.
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Typische Fehler erkennen
Nicht jede Matrix hat eine inverse Matrix. Wenn die Determinante 0 ist, führen Zeilen oder Spalten zu abhängigen Informationen.
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Prüfungsmodus
Wenn eine Aufgabe „zeige, dass“ sagt, reicht das Ergebnis allein nicht. Prüfe die Determinante und multipliziere zur Kontrolle mindestens in der geforderten Richtung.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
- Eine inverse Matrix erfüllt \(A\cdot A^{-1}=I\).
- Nur quadratische Matrizen mit Determinante ungleich 0 sind invertierbar.
- Für 2-mal-2-Matrizen gibt es eine direkte Formel.
- Die Multiplikation mit dem Ergebnis ist die wichtigste Kontrolle.