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Inverse Matrix berechnen: Formel und Gauß-Jordan
Die inverse Matrix $A^{-1}$ macht die Wirkung einer quadratischen Matrix $A$ rückgängig. Sie erfüllt $AA^{-1}=A^{-1}A=I$. Eine solche Matrix gibt es genau dann, wenn $A$ quadratisch und invertierbar ist. Du lernst, das zu erkennen, die Inverse einer $2\times2$-Matrix mit einer Formel und allgemein mit Gauß-Jordan zu berechnen sowie dein Ergebnis zu prüfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann gibt es eine inverse Matrix?
Inverse Matrix
Zu einer quadratischen Matrix $A$ heißt die Matrix $A^{-1}$ inverse Matrix, wenn beide Produkte die Einheitsmatrix ergeben:
$$AA^{-1}=A^{-1}A=I$$
Die Einheitsmatrix $I$ lässt eine Matrix bei der Multiplikation unverändert. Bei zwei Zeilen und zwei Spalten ist $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
Eine quadratische Matrix ist regulär, wenn sie invertierbar ist. Ist sie nicht invertierbar, heißt sie singulär. Falls du Determinanten verwendest, gilt das eindeutige Kriterium:
$$\det(A)\ne 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A\text{ ist invertierbar.}$$
Zum Beispiel hat $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ die Determinante $1\cdot4-2\cdot2=0$. Die zweite Zeile ist außerdem das Doppelte der ersten. Die Matrix kann daher keine Inverse besitzen.
Nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar. Prüfe vor einer Formelrechnung den Nenner beziehungsweise die Determinante. Beim Gauß-Jordan-Verfahren erkennst du eine singuläre Matrix daran, dass sich links keine Einheitsmatrix erzeugen lässt.
Wie funktioniert die Formel für zwei Zeilen?
Für
$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$
berechnest du zuerst $ad-bc$. Ist dieser Wert nicht null, gilt:
$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$
Du vertauschst also $a$ und $d$, wechselst die Vorzeichen von $b$ und $c$ und teilst alle Einträge durch $ad-bc$.
Gegeben ist $A=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}$.
- Determinante berechnen: $\det(A)=4\cdot6-7\cdot2=10$.
- Hauptdiagonale vertauschen und die anderen Vorzeichen wechseln: $\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}$.
- Durch $10$ teilen:
$$A^{-1}=\frac1{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}$$
Die erste Spalte der Produktprobe ist $\begin{pmatrix}4\cdot0{,}6+7\cdot(-0{,}2)\\2\cdot0{,}6+6\cdot(-0{,}2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$. Die zweite Spalte ergibt entsprechend $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$. Also ist $AA^{-1}=I$.
Wie berechnest du die Inverse mit Gauß-Jordan?
Gauß-Jordan funktioniert für quadratische Matrizen jeder Größe, sofern sie invertierbar sind.
- Schreibe die Einheitsmatrix rechts neben die Ausgangsmatrix: $(A\mid I)$.
- Wende jede Zeilenumformung auf die gesamte Zeile an.
- Forme den linken Block zur Einheitsmatrix um.
- Lies rechts die Inverse ab: $(A\mid I)\longrightarrow(I\mid A^{-1})$.
Erlaubt sind das Vertauschen zweier Zeilen, das Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl ungleich null und das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen.
Für $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$ startest du mit
$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\2&3&0&1\end{array}\right).$$
- $Z_2\leftarrow Z_2-2Z_1$:
$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-1&-2&1\end{array}\right)$$
- $Z_1\leftarrow Z_1+2Z_2$:
$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-3&2\\0&-1&-2&1\end{array}\right)$$
- $Z_2\leftarrow-Z_2$:
$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-3&2\\0&1&2&-1\end{array}\right)$$
Links steht nun $I$. Deshalb ist $A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}$.
Warum funktioniert das? Jede Zeilenoperation wirkt links und rechts gleich. Genau die Operationen, die $A$ in $I$ verwandeln, verwandeln den rechten Startblock $I$ in $A^{-1}$.
Wie machst du eine Matrixwirkung rückgängig?
Steht ein Zusammenhang als $Ax=b$ und ist $A$ invertierbar, dann kannst du von links mit $A^{-1}$ multiplizieren:
$$A^{-1}Ax=A^{-1}b \quad\Longrightarrow\quad x=A^{-1}b.$$
Ein Modell beschreibt zwei unbekannte Eingaben durch
$$\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}x=\begin{pmatrix}7\\18\end{pmatrix}.$$
Aus dem vorherigen Beispiel kennst du $A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$. Daher
$$x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7\\18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}.$$
Die ursprünglichen Eingaben waren also $3$ und $1$. Die Vorwärtsprobe liefert $A\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\18\end{pmatrix}$.
Die Formel $x=A^{-1}b$ erklärt den algebraischen Zusammenhang. In numerischen Anwendungen löst man ein einzelnes großes Gleichungssystem meist direkt, statt die Inverse ausdrücklich zu bilden.
Welche Regeln und Fehler solltest du kennen?
Für invertierbare Matrizen gelten:
- $(A^{-1})^{-1}=A$
- $I^{-1}=I$
- $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
- $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
Bei einem Produkt kehrt sich die Reihenfolge um. Denn
$$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=I.$$
Drei sichere Kontrollen: Existenz vorab prüfen, jede Gauß-Jordan-Operation auf beide Blöcke anwenden und am Ende $AA^{-1}=I$ oder $A^{-1}A=I$ nachrechnen.
Typische Fehler sind:
- bei der $2\times2$-Formel $a,d$ nicht zu vertauschen;
- die Vorzeichen von $b,c$ nicht zu wechseln;
- durch $ad-bc=0$ zu teilen;
- bei Gauß-Jordan nur eine Seite der Blockmatrix zu verändern;
- bei $(AB)^{-1}$ die Reihenfolge beizubehalten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Inverse Matrix
- Bedeutung: Wirkung von $A$ rückgängig machen
- Kennzeichen: $AA^{-1}=A^{-1}A=I$
- Existenz
- quadratisch und regulär
- Determinante ungleich null
- Berechnung
- $2\times2$-Formel
- Gauß-Jordan mit $(A\mid I)$
- Anwendung
- $Ax=b$ wird zu $x=A^{-1}b$
- Kontrolle
- Produktprobe ergibt $I$
- bei Produkten Reihenfolge umkehren
- Bedeutung: Wirkung von $A$ rückgängig machen