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Transponierte Matrix: Berechnung und Rechenregeln
Eine transponierte Matrix entsteht, wenn du die Zeilen einer Matrix als Spalten schreibst. Dabei ändern sich die Werte nicht, sondern nur ihre Positionen: Aus einer $m\times n$-Matrix wird eine $n\times m$-Matrix.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie werden Zeilen zu Spalten?
Transponierte Matrix
Die transponierte Matrix $A^{\mathsf T}$ entsteht, indem jede Zeile von $A$ zur gleich nummerierten Spalte von $A^{\mathsf T}$ wird. Entsprechend wird jede Spalte von $A$ zur gleich nummerierten Zeile.
Für die einzelnen Einträge gilt:
$$(A^{\mathsf T})_{ij}=A_{ji}$$
Die beiden Indizes tauschen also ihre Plätze. Der Eintrag aus Zeile $i$ und Spalte $j$ von $A$ steht in $A^{\mathsf T}$ in Zeile $j$ und Spalte $i$.
Gegeben ist die $2\times3$-Matrix
$$A=\begin{pmatrix}2&3&0\\1&4&5\end{pmatrix}.$$
Die erste Zeile $(2,3,0)$ wird zur ersten Spalte. Die zweite Zeile $(1,4,5)$ wird zur zweiten Spalte:
$$A^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}2&1\\3&4\\0&5\end{pmatrix}.$$
Das Ergebnis besitzt drei Zeilen und zwei Spalten. Aus dem Format $2\times3$ ist daher $3\times2$ geworden.
Anschaulich kannst du dir die Transposition als Spiegelung an der Hauptdiagonale vorstellen. Einträge auf der Hauptdiagonale behalten ihre Position. Die anderen Einträge wechseln auf die gegenüberliegende Seite.
Transponieren bedeutet: Zeilen werden Spalten, Spalten werden Zeilen. Die Dimensionen tauschen ihre Reihenfolge.
Wie transponierst du fehlerfrei?
Gehe in vier Schritten vor:
- Bestimme die Zeilen- und Spaltenzahl von $A$.
- Lege für $A^{\mathsf T}$ eine Matrix mit vertauschten Dimensionen an.
- Übertrage die erste Zeile von $A$ als erste Spalte von $A^{\mathsf T}$.
- Verfahre ebenso mit allen weiteren Zeilen.
Gegeben ist
$$B=\begin{pmatrix}1&4\\8&-2\\-3&5\end{pmatrix}.$$
$B$ hat das Format $3\times2$. Deshalb muss $B^{\mathsf T}$ das Format $2\times3$ haben.
Die Zeilen $(1,4)$, $(8,-2)$ und $(-3,5)$ werden nacheinander zu Spalten:
$$B^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}.$$
Zur Kontrolle kannst du beispielsweise verfolgen: Der Eintrag $-3$ stand an Position $(3,1)$ und steht nun an Position $(1,3)$.
Drei schnelle Kontrollen
- Stimmen die vertauschten Dimensionen?
- Sind alle Werte unverändert vorhanden?
- Wurden bei jedem Eintrag Zeilen- und Spaltennummer vertauscht?
Ein häufiger Fehler besteht darin, nur die Form der Matrix zu ändern oder die Einträge innerhalb jeder Zeile umzukehren. Beides ist keine Transposition.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Eine $4\times2$-Matrix wird beim Transponieren zu einer -Matrix. Der Eintrag an Position $(4,2)$ wandert an Position . Beim zweimaligen Transponieren erhältst du .
Welche Rechenregeln gelten?
Die Transposition verträgt sich mit Addition und skalarer Multiplikation:
$$(A+B)^{\mathsf T}=A^{\mathsf T}+B^{\mathsf T}$$
$$(cA)^{\mathsf T}=cA^{\mathsf T}$$
Zweimaliges Transponieren führt zur Ausgangsmatrix zurück:
$$(A^{\mathsf T})^{\mathsf T}=A$$
Beim Transponieren eines Produkts musst du besonders aufpassen:
$$(AB)^{\mathsf T}=B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$$
Die Reihenfolge der Faktoren kehrt sich um. Bei mehreren Faktoren gilt entsprechend:
$$(A_1A_2\cdots A_r)^{\mathsf T}=A_r^{\mathsf T}\cdots A_2^{\mathsf T}A_1^{\mathsf T}$$
Beim Transponieren eines Produkts gilt: Jeden Faktor transponieren und die Reihenfolge umdrehen.
Für einen Ausdruck $ABC$ erhältst du
$$(ABC)^{\mathsf T}=C^{\mathsf T}B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}.$$
Du beginnst rechts mit $C$, weil das gesamte Produkt bei der Transposition seine Reihenfolge umkehrt.
Ist eine quadratische Matrix $A$ invertierbar, gilt außerdem:
$$(A^{-1})^{\mathsf T}=(A^{\mathsf T})^{-1}$$
Denn mit der Produktregel folgt
$$A^{\mathsf T}(A^{-1})^{\mathsf T}=(A^{-1}A)^{\mathsf T}=I.$$
Was verrät die Transponierte über eine Matrix?
Symmetrische Matrix
Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn $A^{\mathsf T}=A$ gilt. Ihre Einträge sind an der Hauptdiagonale spiegelbildlich angeordnet.
Die Matrix
$$S=\begin{pmatrix}2&4\\4&5\end{pmatrix}$$
ist symmetrisch, denn
$$S^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}2&4\\4&5\end{pmatrix}=S.$$
Schiefsymmetrische Matrix
Eine quadratische Matrix heißt schiefsymmetrisch oder antisymmetrisch, wenn $A^{\mathsf T}=-A$ gilt.
Bei einer schiefsymmetrischen Matrix über den reellen Zahlen müssen alle Diagonaleinträge 0 sein: Ein Diagonaleintrag bleibt beim Transponieren an seinem Platz und müsste zugleich sein eigenes Negatives sein.
Für
$$K=\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}$$
gilt
$$K^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}0&-3\\3&0\end{pmatrix}=-K.$$
Für jede reelle Matrix $A$ sind die Produkte $AA^{\mathsf T}$ und $A^{\mathsf T}A$ symmetrisch. Für das erste Produkt zeigt die Produktregel:
$$(AA^{\mathsf T})^{\mathsf T}=(A^{\mathsf T})^{\mathsf T}A^{\mathsf T}=AA^{\mathsf T}$$
Für
$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$$
ist
$$AA^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&11\\11&25\end{pmatrix}.$$
Die beiden Einträge außerhalb der Hauptdiagonale sind gleich. Das Ergebnis ist daher symmetrisch.
Ob die Transposition ausdrücklich zum Prüfungsstoff gehört, hängt vom Bundesland und vom gewählten Kurs ab. Das mathematische Verfahren und die hier erklärten Regeln ändern sich dadurch nicht.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Transponierte Matrix
- Berechnung
- Zeilen werden Spalten
- Dimensionen werden vertauscht
- Position $(i,j)$ wird $(j,i)$
- Rechenregeln
- zweimaliges Transponieren ergibt $A$
- Summen werden gliedweise transponiert
- bei Produkten kehrt sich die Reihenfolge um
- Besondere Matrizen
- symmetrisch: $A^{\mathsf T}=A$
- schiefsymmetrisch: $A^{\mathsf T}=-A$
- $AA^{\mathsf T}$ ist symmetrisch
- Berechnung
Abschluss-Check
Du beherrschst die Transposition, wenn du zuerst die Dimensionen vertauschst, jeden Eintrag an die Position mit vertauschten Indizes setzt und bei Produkten die umgekehrte Faktorenreihenfolge beachtest.