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Eine Übergangsmatrix beschreibt, wie sich Anteile oder Zustände von einem Schritt zum nächsten verändern. Sie wird zum Beispiel bei Markow-Ketten, Kundenwechseln oder Wettermodellen verwendet.
Hier lernst du, wie du eine Übergangsmatrix liest, mit einem Zustandsvektor multiplizierst und langfristige Entwicklungen deutest.
- Ich kann Zustände und Übergangswahrscheinlichkeiten erklären.
- Ich kann eine Übergangsmatrix lesen.
- Ich kann einen Zustandsvektor mit einer Übergangsmatrix weiterrechnen.
- Ich kann prüfen, ob Spalten oder Zeilen zu 1 passen.
- Ich kann eine stationäre Verteilung als langfristigen Zustand verstehen.
Zustände und Übergänge
Ein System kann verschiedene Zustände haben. Übergänge sagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Zustand in den nächsten Schritt übergeht.
Übergang
Ein Übergang beschreibt den Wechsel von einem Zustand zu einem anderen in einem Schritt.
Menschen nutzen Bus oder Fahrrad.
Von einem Monat zum nächsten bleiben manche beim Bus, manche wechseln zum Fahrrad.
Diese Wechsel können in einer Matrix gesammelt werden.
Eine Übergangsmatrix beschreibt nicht einen einzelnen sicheren Wechsel, sondern Anteile oder Wahrscheinlichkeiten.
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Matrix lesen
In der Schule gibt es zwei Konventionen: spaltenstochastisch oder zeilenstochastisch. Wichtig ist, welche Richtung in deiner Aufgabe festgelegt wird.
Stochastische Matrix
Eine stochastische Matrix enthält Übergangswahrscheinlichkeiten. Je nach Konvention ergeben alle Spalten oder alle Zeilen jeweils \(1\).
Wir nutzen hier Spalten als Ausgangszustände:
Spalte 1 startet in Zustand A: \(80\,\%\) bleiben in A, \(20\,\%\) wechseln nach B.
Spalte 2 startet in Zustand B: \(30\,\%\) wechseln nach A, \(70\,\%\) bleiben in B.
Prüfe die Aufgabe: Werden Ausgangszustände in Spalten oder in Zeilen gelesen?
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Zustandsvektor weiterrechnen
Ein Zustandsvektor beschreibt, wie viel Anteil gerade in jedem Zustand ist.
Zustandsvektor
Ein Zustandsvektor enthält die aktuellen Anteile oder Wahrscheinlichkeiten der Zustände.
Start:
Übergangsmatrix:
Nächster Zustand:
Erste Zeile:
\(0{,}8\cdot0{,}6+0{,}3\cdot0{,}4=0{,}48+0{,}12=0{,}60\)
Zweite Zeile:
\(0{,}2\cdot0{,}6+0{,}7\cdot0{,}4=0{,}12+0{,}28=0{,}40\)
Der Zustand bleibt hier gleich.
Nach dem Multiplizieren sollten die Anteile wieder zusammen \(1\) ergeben.
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Mehrere Schritte
Für mehrere Schritte multiplizierst du wiederholt mit der Übergangsmatrix.
Der zweite Schritt ist:
\(v_2=Mv_1\).
Allgemein gilt:
\(v_n=M^n v_0\).
Potenzen von Matrizen funktionieren anders als Potenzen von Zahlen. Du multiplizierst Matrizen nach den Regeln der Matrixmultiplikation.
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Stationäre Verteilung
Manchmal nähert sich ein System einem Zustand, der sich durch weitere Übergänge nicht mehr verändert.
Stationäre Verteilung
Eine stationäre Verteilung ist ein Zustandsvektor \(v\), für den \(Mv=v\) gilt.
Im Beispiel oben war \(v_0=(0{,}6,0{,}4)\) bereits stationär.
Denn \(Mv_0=v_0\).
Nach einem Schritt bleibt die Verteilung gleich.
Stationär heißt nicht, dass einzelne Personen nie wechseln. Es heißt: Die Gesamtanteile bleiben gleich.
Prüfungsmodus: Typische Fehler
Die häufigsten Fehler sind falsche Leserichtung und falsche Multiplikationsreihenfolge.
Wenn Spalten Ausgangszustände sind, rechnest du meistens \(v_{neu}=Mv_{alt}\) mit Spaltenvektoren.
Wenn Zeilen Ausgangszustände sind, kann die Aufgabe stattdessen mit Zeilenvektoren arbeiten.
Die Aufgabenstellung entscheidet.
Beschrifte Zustände und prüfe Summen. So findest du viele Matrixfehler.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Eine Übergangsmatrix beschreibt, wie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten von Zuständen in einem Schritt wechseln. Zusammen mit einem Zustandsvektor berechnest du neue Verteilungen.
Wichtig sind die Leserichtung, die Summenkontrolle und die Bedeutung von \(Mv=v\): Dann ist eine Verteilung stationär.