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Übergangsmatrix: Prozesse berechnen und verstehen
Eine Übergangsmatrix beschreibt, wie sich ein System in festen Zeitschritten zwischen Zuständen verändert. Du legst zuerst Zustände, Reihenfolge und Zeitspanne fest, liest dann die Wahrscheinlichkeiten nach einer einheitlichen Konvention ein und berechnest Folgezustände durch Matrix-Vektor-Multiplikation.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Übergänge sicher lesen
Wir verwenden durchgehend die Spaltenkonvention: Eine Spalte beschreibt, woher ein Bestand kommt; eine Zeile beschreibt, wohin er geht. Der Eintrag $p_{ij}$ steht also für den Übergang von Zustand $j$ nach Zustand $i$.
Übergangsmatrix
Eine stochastische Übergangsmatrix ist quadratisch. Alle Einträge liegen zwischen $0$ und $1$. Bei der Spaltenkonvention ergibt jede Spaltensumme $1$, weil der gesamte Bestand eines Ausgangszustands verteilt wird.
Für drei Supermärkte $A$, $B$ und $C$ gilt:
$$P=\begin{pmatrix}0{,}7&0{,}2&0{,}3\\0{,}2&0{,}6&0{,}2\\0{,}1&0{,}2&0{,}5\end{pmatrix}$$
Die erste Spalte bedeutet: Von den bisherigen Kunden von $A$ bleiben $70\,%$ bei $A$, $20\,%$ wechseln zu $B$ und $10\,%$ zu $C$. Ihre Summe ist $1$.
Schreibe über jede Spalte „von“ und vor jede Zeile „nach“. So verwechselst du $p_{ij}$ nicht mit $p_{ji}$.
Matrix und Zustandsvektor aufstellen
Lege vor dem Eintragen die Reihenfolge fest, etwa $(A,B,C)$. Dieselbe Reihenfolge gilt für Zeilen, Spalten und Zustandsvektor. Der Vektor
$$x_0=\begin{pmatrix}600\\200\\200\end{pmatrix}$$
bedeutet: Zu Beginn gehören 600 Kunden zu $A$, 200 zu $B$ und 200 zu $C$.
Wenn von $A$ aus $70\,%$ bei $A$, $20\,%$ zu $B$ und $10\,%$ zu $C$ gehen, lautet die zugehörige erste Spalte $(0{,}7;0{,}2;0{,}1)^T$. Die drei Anteile ergeben zusammen $1$.
Eine gewöhnliche Prozessmatrix kann ebenfalls Entwicklungen beschreiben, muss aber nicht stochastisch sein. Prüfe deshalb, ob die Einträge wirklich Anteile sind und ob die geforderte Summe $1$ ergibt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei der Spaltenkonvention stehen die Ausgangszustände in den . Der Eintrag $p_{ij}$ führt von Zustand nach Zustand . Ein vollständiger Ausgangsbestand ergibt als Spaltensumme .
Folgezustände berechnen
Bei Spaltenvektoren steht die Matrix links:
$$x_{n+1}=Px_n$$
Jeder neue Eintrag ist die Summe aller Beiträge, die in den betreffenden Zielzustand gelangen.
Für das Supermarktmodell folgt nach einer Periode:
$$Px_0=\begin{pmatrix}0{,}7\cdot600+0{,}2\cdot200+0{,}3\cdot200\\0{,}2\cdot600+0{,}6\cdot200+0{,}2\cdot200\\0{,}1\cdot600+0{,}2\cdot200+0{,}5\cdot200\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}520\\280\\200\end{pmatrix}$$
Damit gehören nach einer Periode 520 Kunden zu $A$, 280 zu $B$ und 200 zu $C$. Die Summe bleibt 1000; das passt zum Modell, weil niemand das System verlässt.
Mehrere Schritte und Rückwärtsrechnung
Nach zwei Perioden gilt $x_2=P(Px_0)=P^2x_0$, allgemein also
$$x_n=P^nx_0$$
Die Matrix $P^2$ beschreibt Übergänge über zwei Perioden. Sie darf nicht als Ein-Schritt-Matrix gedeutet werden.
Für einen früheren Zustand löst du $Px_{\mathrm{vor}}=x$. Ist $P$ invertierbar, kannst du $x_{\mathrm{vor}}=P^{-1}x$ verwenden. Ist sie nicht invertierbar, existiert diese Rechnung nicht; ein lineares Gleichungssystem kann dann keine eindeutige Lösung liefern.
Beim Getränkemodell führt die gegebene aktuelle Verteilung $(650,200,150)^T$ durch Rückwärtsrechnung zur exakten Vorjahresverteilung
$$x_{\mathrm{vor}}=\begin{pmatrix}729\tfrac16\\145\tfrac56\\125\end{pmatrix}$$
Die nicht ganzzahligen Werte zeigen eine Grenze des Modells: Für reale Personen muss das Ergebnis sinnvoll gerundet und als Näherung bezeichnet werden. Ein rechnerisches Ergebnis ist nicht automatisch ein tatsächlich beobachteter Bestand.
Stationäre Zustände untersuchen
Ein Fixvektor $v$ beschreibt einen Zustand, der sich durch den Übergang nicht ändert:
$$Pv=v$$
Du löst dieses Gleichungssystem und ergänzt die bekannte Gesamtsumme. Ein Fixvektor ist ein stationärer Zustand; er bedeutet nicht automatisch, dass jeder Startzustand gegen ihn konvergiert.
Im Getränkemodell ergibt die Fixpunktgleichung das Verhältnis
$$x=\frac{13}{4}z,\qquad y=\frac{7}{4}z$$
Bei insgesamt 1000 Personen ist $x+y+z=1000$. Daraus folgt $z=166\tfrac23$ und damit
$$v=\begin{pmatrix}541\tfrac23\\291\tfrac23\\166\tfrac23\end{pmatrix}$$
Probe: Die Gesamtsumme ist 1000 und $Pv=v$. Die Verteilung bleibt nach einer weiteren Periode gleich.
Ein absorbierender Zustand ist ein Sonderfall: Wer ihn erreicht, bleibt dort. In der Matrix steht beim Übergang von diesem Zustand zu sich selbst eine 1; alle anderen Einträge derselben Ausgangsspalte sind 0.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Übergangsprozess
- Modell aufstellen
- Zustände, Reihenfolge und Zeitspanne festlegen
- Spalten als „von“ und Zeilen als „nach“ lesen
- Entwicklung berechnen
- Folgezustand mit $Px$
- Mehrere Schritte mit $P^nx_0$
- Ergebnisse untersuchen
- Früheren Zustand über $Px_{\mathrm{vor}}=x$
- Stationären Zustand über $Pv=v$
- Modell aufstellen