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Matrizenmultiplikation: Zeile mal Spalte
Zwei Matrizen kannst du genau dann in der Reihenfolge $AB$ multiplizieren, wenn die Spaltenzahl von $A$ gleich der Zeilenzahl von $B$ ist. Jeden Eintrag des Produkts berechnest du mit „Zeile der ersten Matrix mal Spalte der zweiten Matrix“.
Auf dieser Seite lernst du, die Dimensionen zu prüfen, ein Produkt vollständig auszurechnen und zu erklären, warum die Reihenfolge der Faktoren wichtig ist. Außerdem wendest du die Multiplikation auf einen Übergangsprozess an.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Erst die Dimensionen prüfen
Eine $m\times n$-Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten. Bei einem Eintrag $a_{ij}$ nennt der erste Index $i$ die Zeile und der zweite Index $j$ die Spalte.
Matrixprodukt
Für $A\in\mathbb R^{m\times n}$ und $B\in\mathbb R^{n\times p}$ ist das Produkt $AB$ definiert. Es hat $m$ Zeilen und $p$ Spalten, also die Dimension $m\times p$.
Das Dimensionsschema lautet:
$$(m\times n)(n\times p)\longrightarrow(m\times p)$$
Die beiden inneren Dimensionen müssen gleich sein. Die beiden äußeren Dimensionen bestimmen die Größe des Ergebnisses.
Eine $2\times3$-Matrix darf mit einer $3\times4$-Matrix als zweitem Faktor multipliziert werden:
$$(2\times3)(3\times4)\longrightarrow(2\times4)$$
Das Produkt ist definiert und besitzt zwei Zeilen und vier Spalten. In der umgekehrten Reihenfolge wäre $(3\times4)(2\times3)$ nicht definiert, weil innen $4\ne2$ gilt.
Prüfe zuerst innen, lies danach außen ab. Erst dann rechnest du Einträge aus.
Jeden Eintrag mit Zeile mal Spalte berechnen
Steht $C=AB$, dann entsteht der Eintrag $c_{ik}$ aus der $i$-ten Zeile von $A$ und der $k$-ten Spalte von $B$. Du multiplizierst jeweils Einträge an derselben Position und addierst die Teilprodukte:
$$c_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$$
Die Summe enthält so viele Teilprodukte, wie $A$ Spalten und $B$ Zeilen haben.
Gegeben sind
$$A=\begin{pmatrix}3&2&1\\1&0&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\4&0\end{pmatrix}.$$
$A$ hat die Dimension $2\times3$, $B$ die Dimension $3\times2$. Also ist $AB$ definiert und eine $2\times2$-Matrix.
Für jeden Ergebnisplatz wählst du die passende Zeile und Spalte:
$$c_{11}=3\cdot1+2\cdot0+1\cdot4=7$$
$$c_{12}=3\cdot2+2\cdot1+1\cdot0=8$$
$$c_{21}=1\cdot1+0\cdot0+2\cdot4=9$$
$$c_{22}=1\cdot2+0\cdot1+2\cdot0=2$$
Damit ist
$$AB=\begin{pmatrix}7&8\\9&2\end{pmatrix}.$$
Der Eintrag $8$ steht beispielsweise in Zeile 1, Spalte 2. Deshalb wurde die erste Zeile von $A$ mit der zweiten Spalte von $B$ verrechnet.
Die Reihenfolge der Faktoren beachten
Bei gewöhnlichen Zahlen gilt $a\cdot b=b\cdot a$. Bei Matrizen gilt das im Allgemeinen nicht: $AB\ne BA$. Man sagt, die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.
Schon die Dimensionen können sich unterscheiden. Für $A$ mit $m\times n$ und $B$ mit $n\times m$ hat $AB$ die Dimension $m\times m$, aber $BA$ die Dimension $n\times n$.
Auch bei quadratischen Matrizen können verschiedene Ergebnisse entstehen.
Für
$$P=\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}0&0\\2&0\end{pmatrix}$$
gilt
$$PQ=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad QP=\begin{pmatrix}0&0\\0&4\end{pmatrix}.$$
Beide Produkte sind definiert, aber nicht gleich. Die Reihenfolge ist deshalb Teil der Aufgabe und darf nicht still vertauscht werden.
Bei drei kompatiblen Matrizen darfst du anders klammern: $A(BC)=(AB)C$. Die Reihenfolge $A,B,C$ bleibt dabei erhalten. Klammern verändern ist nicht dasselbe wie Faktoren vertauschen.
Übergangsprozesse Schritt für Schritt berechnen
Eine Matrix kann beschreiben, wie sich ein Zustand von einem Schritt zum nächsten verändert. Ein Zustandsvektor sammelt dazu die Anteile oder Mengen der einzelnen Zustände. Gilt $v_{k+1}=Uv_k$, dann wird die Übergangsmatrix $U$ von links mit dem aktuellen Zustandsvektor multipliziert.
Gegeben sind
$$U=\begin{pmatrix}0{,}3&0{,}4\\0{,}7&0{,}6\end{pmatrix},\qquad v_0=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}.$$
Der erste Folgezustand ist
$$v_1=Uv_0=\begin{pmatrix}0{,}3\\0{,}7\end{pmatrix}.$$
Für den zweiten Schritt verwendest du $v_1$ als neuen Ausgangszustand:
$$v_2=Uv_1=\begin{pmatrix}0{,}3\cdot0{,}3+0{,}4\cdot0{,}7\\0{,}7\cdot0{,}3+0{,}6\cdot0{,}7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}37\\0{,}63\end{pmatrix}.$$
Ein weiterer Schritt ergibt
$$v_3=Uv_2=\begin{pmatrix}0{,}363\\0{,}637\end{pmatrix}.$$
Weil dreimal dieselbe Matrix wirkt, kannst du auch $v_3=U^3v_0$ schreiben. Dabei bedeutet $U^3=U\cdot U\cdot U$; Matrixpotenzen sind nur für quadratische Matrizen definiert.
Die Komponenten jedes gezeigten Zustandsvektors ergeben zusammen $1$. Das passt hier zur Deutung als vollständige Verteilung: $0{,}37+0{,}63=1$ und $0{,}363+0{,}637=1$.
Mit einer festen Strategie Fehler vermeiden
Gehe bei jeder Aufgabe in dieser Reihenfolge vor:
- Notiere die Dimensionen beider Faktoren.
- Vergleiche die inneren Dimensionen.
- Notiere die Ergebnisdimension aus den äußeren Dimensionen.
- Berechne jeden Eintrag als Zeile-mal-Spalte-Summe.
- Prüfe Platz, Vorzeichen und Plausibilität jedes Ergebniseintrags.
Typische Fehler sind leicht zu unterscheiden:
- Falsche Dimensionsprüfung: Es werden die äußeren statt der inneren Zahlen verglichen.
- Komponentenweise Multiplikation: Einträge an denselben Plätzen werden nur miteinander multipliziert. Das ist ein anderes Produkt und nicht die hier erklärte Matrizenmultiplikation.
- Spalte mal Spalte: Für $c_{ik}$ brauchst du eine Zeile aus der ersten und eine Spalte aus der zweiten Matrix.
- Vertauschte Faktoren: Aus $AB$ wird ohne Begründung $BA$.
- Zu wenige Teilprodukte: Jedes Skalarprodukt enthält genau so viele Teilprodukte wie die gemeinsame innere Dimension angibt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Produkt $(2\times3)(3\times4)$ vergleichst du die Dimensionen. Sie sind beide . Das Ergebnis übernimmt die Dimensionen und hat daher die Größe . Einen Eintrag berechnest du als .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Matrizenmultiplikation
- Dimensionen prüfen
- innen gleich
- außen bestimmt Ergebnis
- Einträge berechnen
- Zeile aus erster Matrix
- Spalte aus zweiter Matrix
- Teilprodukte addieren
- Reihenfolge beachten
- im Allgemeinen $AB\ne BA$
- Klammerung darf wechseln
- Prozesse anwenden
- Folgezustand $v_{k+1}=Uv_k$
- mehrere Schritte mit $U^n$
- Dimensionen prüfen
Abschluss-Check
Du bist sicher, wenn du vor jeder Rechnung die Dimensionen prüfst, den Zielplatz $c_{ik}$ festlegst und genau die zugehörige Zeile mit der zugehörigen Spalte verrechnest.