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Einsetzungsverfahren einfach erklärt
Beim Einsetzungsverfahren ersetzt du in einer Gleichung eine Variable durch einen gleichwertigen Ausdruck. Dadurch bleibt nur noch eine Variable übrig, die du berechnen kannst.
Das Verfahren ist besonders günstig, wenn eine Variable bereits allein steht oder sich leicht freistellen lässt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum funktioniert das Einsetzen?
Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht hier aus zwei Gleichungen mit den Variablen $x$ und $y$. Gesucht ist ein Wertepaar, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt.
Einsetzungsverfahren
Du löst eine Gleichung nach einer Variablen auf. Den erhaltenen Ausdruck setzt du anstelle dieser Variablen in die andere Gleichung ein. So entsteht eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten.
Betrachte zum Beispiel:
$$\text{I: }x=6-2y$$
$$\text{II: }3x+2y=10$$
Gleichung I sagt: $x$ und $6-2y$ haben denselben Wert. Deshalb darfst du in Gleichung II jedes $x$ durch $6-2y$ ersetzen:
$$3(6-2y)+2y=10$$
Jetzt kommt nur noch $y$ vor.
Einsetzen bedeutet gleichwertig ersetzen. Nach dem Einsetzen muss nur noch eine Variable übrig sein.
So gehst du Schritt für Schritt vor
- Freistellen: Löse eine Gleichung nach $x$ oder $y$ auf.
- Einsetzen: Ersetze diese Variable in der anderen Gleichung durch den vollständigen Ausdruck.
- Ausrechnen: Löse die entstandene Gleichung mit nur einer Variablen.
- Rückeinsetzen: Setze den berechneten Wert in eine aufgelöste Gleichung oder eine Ausgangsgleichung ein.
- Angeben und prüfen: Notiere beide Werte und mache die Probe in beiden Ausgangsgleichungen.
Kurzform: freistellen – einsetzen – lösen – rückeinsetzen – prüfen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Einsetzungsverfahren musst du zuerst eine Variable . Dann du sie in der anderen Gleichung durch den vollständigen Ausdruck. Nach dem Lösen musst du den Wert . Am Ende gehören zur Lösung.
Ein vollständiges Beispiel
Gegeben ist das Gleichungssystem:
$$\text{I: }2x+y=8$$
$$\text{II: }x-y=1$$
1. Eine Variable freistellen
Gleichung II lässt sich leicht nach $x$ auflösen:
$$x-y=1$$
Addiere $y$ auf beiden Seiten:
$$x=1+y$$
2. Den Ausdruck einsetzen
Ersetze in Gleichung I das $x$ durch $1+y$. Der Ausdruck steht in Klammern, weil er mit $2$ multipliziert wird:
$$2(1+y)+y=8$$
3. Die verbleibende Variable berechnen
$$2+2y+y=8$$
$$2+3y=8$$
Subtrahiere $2$:
$$3y=6$$
Teile durch $3$:
$$y=2$$
4. Rückeinsetzen
Nutze $x=1+y$:
$$x=1+2=3$$
Damit lautet die Lösung:
$$L=\{(3\mid 2)\}$$
5. Probe in beiden Gleichungen
Gleichung I:
$$2\cdot3+2=8$$
Gleichung II:
$$3-2=1$$
Beide Aussagen stimmen. Das Wertepaar $(3\mid2)$ erfüllt also das gesamte Gleichungssystem.
Wie wählst du einen günstigen Weg?
Mathematisch kannst du jede der beiden Gleichungen nach $x$ oder $y$ auflösen. Die Rechenwege sind aber nicht gleich bequem.
Wähle möglichst eine Variable,
- die bereits allein steht,
- deren Koeffizient $1$ oder $-1$ ist,
- die sich mit wenigen Schritten freistellen lässt,
- deren Freistellung keine unnötigen Brüche erzeugt.
Beim System
$$\text{I: }5x+y=9$$
$$\text{II: }x+4y=8$$
wäre $x=\frac{9-y}{5}$ aus Gleichung I möglich. Einfacher ist jedoch Gleichung II:
$$x=8-4y$$
Das Einsetzungsverfahren ist nicht immer das kürzeste Verfahren. Sind in beiden Gleichungen passende Gegenterme vorhanden, kann das Additionsverfahren günstiger sein. Sind beide Gleichungen bereits nach derselben Variablen aufgelöst, bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an.
Typischer Fehler: den Ausdruck nicht klammern
Gegeben sei:
$$x=2y-1$$
$$3x+y=11$$
Richtig eingesetzt wird so:
$$3(2y-1)+y=11$$
Die Klammer ist notwendig, weil der Faktor $3$ den gesamten Ausdruck $2y-1$ multipliziert.
So löst du eine Textaufgabe
Zwei Kinokarten kosten zusammen $18\,€$. Eine Erwachsenenkarte kostet $4\,€$ mehr als eine Kinderkarte.
1. Variablen festlegen
- $x$: Preis der Erwachsenenkarte
- $y$: Preis der Kinderkarte
2. Aussagen in Gleichungen übersetzen
„Die Erwachsenenkarte kostet $4\,€$ mehr“ ergibt:
$$\text{I: }x=y+4$$
„Zusammen kosten die Karten $18\,€$“ ergibt:
$$\text{II: }x+y=18$$
3. Einsetzen und lösen
Setze $x=y+4$ in Gleichung II ein:
$$(y+4)+y=18$$
$$2y+4=18$$
$$2y=14$$
$$y=7$$
Rückeinsetzen:
$$x=7+4=11$$
4. Im Sachzusammenhang antworten
Die Kinderkarte kostet $7\,€$, die Erwachsenenkarte $11\,€$. Zusammen sind das $18\,€$; der Preisunterschied beträgt $4\,€$.
Bei Textaufgaben endet die Lösung nicht beim Wertepaar. Schreibe immer dazu, wofür die Werte stehen und ob sie zur Situation passen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Einsetzungsverfahren
- Ausgangspunkt
- zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen
- Rechenweg
- günstige Variable freistellen
- Ausdruck geklammert einsetzen
- verbleibende Variable lösen
- zweiten Wert rückeinsetzen
- Abschluss
- beide Werte angeben
- beide Gleichungen prüfen
- Anwendung
- direkt beschriebene Beziehungen in Textaufgaben
- Ausgangspunkt
Abschluss-Check
Wenn du beim Rechnen unsicher wirst, halte dich an die Kurzfolge: freistellen – einsetzen – lösen – rückeinsetzen – prüfen.