Mit Google fortfahren
Additionsverfahren: LGS Schritt für Schritt lösen
Mit dem Additionsverfahren löst du ein lineares Gleichungssystem, indem du zwei Gleichungen so addierst, dass eine Variable verschwindet. Danach berechnest du die verbleibende Variable, setzt ihren Wert zurück ein und prüfst beide Werte.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Grundidee erkennen
Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht hier aus zwei linearen Gleichungen mit denselben zwei Variablen. Gesucht ist ein Wertepaar, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt.
Beim Additionsverfahren machst du die Koeffizienten einer Variablen gleich groß, aber entgegengesetzt. Koeffizient heißt die Zahl vor einer Variablen. Beim Addieren heben sich zum Beispiel $+3y$ und $-3y$ auf.
Additionsverfahren
Du addierst die linken Seiten und die rechten Seiten zweier Gleichungen. Sind die Koeffizienten einer Variablen entgegengesetzt, wird ihre Summe null. So bleibt eine Gleichung mit nur einer Variablen übrig.
Warum ist das erlaubt? Wenn beide Seiten jeder Ausgangsgleichung gleich sind, bleiben auch die Summen der linken und rechten Seiten gleich. Du musst dabei immer ganze Gleichungen miteinander verbinden.
Wähle möglichst die Variable, deren Koeffizienten schon entgegengesetzt sind oder sich mit kleinen Faktoren entgegengesetzt machen lassen.
Direkt addieren und rückeinsetzen
Betrachte das System
$$(1)\quad 2x+3y=12$$
$$(2)\quad 4x-3y=6$$
Die $y$-Terme sind bereits entgegengesetzt. Addiere deshalb (1) und (2) seitenweise:
$$6x=18$$
Teile durch $6$:
$$x=3$$
Setze $x=3$ in eine Ausgangsgleichung ein, zum Beispiel in (1):
$$2\cdot3+3y=12$$
$$6+3y=12\quad\Rightarrow\quad y=2$$
Die Lösung ist das Wertepaar $(3\mid2)$. Die Probe bestätigt es:
$2\cdot3+3\cdot2=12$ und $4\cdot3-3\cdot2=6$.
Beide Ausgangsgleichungen sind wahr. Deshalb ist $(3\mid2)$ tatsächlich die Lösung des Systems.
Gleichungen für die Addition vorbereiten
Oft passen die Koeffizienten noch nicht. Dann multiplizierst du eine oder beide Gleichungen vollständig. Vollständig bedeutet: Jeder Term auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens wird mit demselben Faktor multipliziert.
Gegeben ist
$$(1)\quad 2x+y=7$$
$$(2)\quad 3x-2y=4$$
Damit $y$ verschwindet, multiplizierst du (1) mit $2$:
$$4x+2y=14$$
Nun addierst du diese neue Gleichung und (2):
$$7x=18\quad\Rightarrow\quad x=\frac{18}{7}$$
Rückeinsetzen in (1) ergibt:
$$2\cdot\frac{18}{7}+y=7$$
$$y=\frac{13}{7}$$
Die Lösung lautet also $\left(\frac{18}{7}\middle|\frac{13}{7}\right)$.
Das kleinste gemeinsame Vielfache kann dir bei der Wahl der Faktoren helfen. Bei Koeffizienten $3$ und $2$ ist $6$ ein gemeinsames Vielfaches: Multipliziere passend und achte darauf, dass die Vorzeichen am Ende entgegengesetzt sind.
Typische Fehler sind:
- Nur einen Term statt der gesamten Gleichung zu multiplizieren.
- Die rechte Seite unverändert zu lassen.
- Ein Minuszeichen beim Sortieren zu verlieren.
- Nach dem Rückeinsetzen die Probe auszulassen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Im Beispiel wird Gleichung (1) mit multipliziert. Dadurch entsteht für den $y$-Term . Nach der Addition gilt $7x=18$, also ist der Wert von $x$ gleich . Rückeinsetzen liefert für $y$ den Wert .
Die Anzahl der Lösungen erkennen
Nach der Addition muss nicht immer eine Gleichung wie $6x=18$ entstehen. Die letzte Aussage zeigt, wie viele Lösungen das System hat.
- Eine Gleichung wie $6x=18$ liefert einen festen Wert. Das System hat genau eine Lösung; die beiden Geraden schneiden sich.
- Eine falsche Aussage wie $0=2$ ist ein Widerspruch. Das System hat keine Lösung; die Geraden sind parallel und verschieden.
- Eine immer wahre Aussage wie $0=0$ enthält keine neue Bedingung. Das System hat unendlich viele Lösungen; beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.
Bei $x+y=3$ und $2x+2y=6$ multiplizierst du die erste Gleichung mit $-2$ und addierst. Es entsteht $0=0$. Die zweite Gleichung ist nur das Doppelte der ersten. Daher erfüllt jedes Wertepaar auf der Geraden $x+y=3$ beide Gleichungen.
Steht stattdessen $2x+2y=8$, führt derselbe Schritt zu $0=2$. Diese Aussage ist unmöglich, also gibt es keine gemeinsame Lösung.
Eine Sachsituation als LGS lösen
Auf einem Hof sind $30$ Tiere: Hühner mit je $2$ Beinen und Schweine mit je $4$ Beinen. Zusammen haben sie $84$ Beine.
Setze $x$ als Anzahl der Hühner und $y$ als Anzahl der Schweine. Dann beschreiben zwei Bedingungen die Situation:
$$x+y=30$$
$$2x+4y=84$$
Multipliziere die erste Gleichung mit $-2$:
$$-2x-2y=-60$$
Addiere sie zur zweiten Gleichung:
$$2y=24\quad\Rightarrow\quad y=12$$
Setze $y=12$ in $x+y=30$ ein:
$$x+12=30\quad\Rightarrow\quad x=18$$
Es gibt $18$ Hühner und $12$ Schweine. Prüfe beide Angaben im Sachzusammenhang:
$18+12=30$ Tiere und $2\cdot18+4\cdot12=84$ Beine.
Die Anzahlen sind nicht negativ und passen zu beiden Bedingungen.
Bei einer Textaufgabe gehst du in fünf Schritten vor: Variablen festlegen, zwei Gleichungen aufstellen, eine Variable beseitigen, rückeinsetzen und das Ergebnis mit Einheit oder Bedeutung beantworten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Additionsverfahren
- Gegenterme herstellen
- Gleichungen seitenweise addieren
- verbleibende Variable berechnen
- Wert rückeinsetzen
- Lösung in beiden Gleichungen prüfen
- Sonderfälle an $0=0$ oder einem Widerspruch erkennen