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Wenn zwei Gleichungen zwei unbekannte Zahlen enthalten, wirkt das zuerst unübersichtlich. Das Additionsverfahren ist eine Methode, mit der du eine Variable gezielt verschwinden lässt.
Nach dieser Seite kannst du lineare Gleichungssysteme mit dem Additionsverfahren lösen und erkennst, wann du Gleichungen vorher passend multiplizieren musst.
- Ich kann erklären, wozu das Additionsverfahren dient.
- Ich kann eine Variable durch Addieren zweier Gleichungen eliminieren.
- Ich kann Gleichungen vorher passend multiplizieren.
- Ich kann die zweite Variable durch Einsetzen berechnen.
- Ich kann meine Lösung mit einer Probe überprüfen.
Wofür du das Additionsverfahren brauchst
Das Additionsverfahren löst lineare Gleichungssysteme. Dabei suchst du Werte, die beide Gleichungen gleichzeitig wahr machen.
Lineares Gleichungssystem
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit denselben Variablen, zum Beispiel \(x\) und \(y\). Eine Lösung muss in alle Gleichungen passen.
Additionsverfahren
Das Additionsverfahren ist ein Lösungsverfahren für Gleichungssysteme. Du addierst zwei Gleichungen so, dass eine Variable wegfällt.
Du kannst dir jede Gleichung wie eine Waage vorstellen: links und rechts steht gleich viel. Wenn du zwei wahre Waagen zusammenlegst, bleibt die neue Waage ebenfalls im Gleichgewicht. Darum darfst du linke Seiten zusammen addieren und rechte Seiten zusammen addieren.
Der Trick ist nicht das Addieren allein. Der Trick ist, die Gleichungen so vorzubereiten, dass eine Variable beim Addieren zu \(0\) wird. Dann bleibt nur noch eine Variable übrig, und die kannst du lösen.
Gegeben ist:
Wenn du beide Gleichungen addierst, fällt \(y\) weg:
Also:
Damit ist \(x=3\). In diesem ersten Beispiel geht es nur darum, das Wegfallen von \(y\) zu sehen. In vollständigen Aufgaben berechnest du danach auch die zweite Variable und machst eine Probe.
Beim Additionsverfahren suchst du Gegenzahlen wie \(+y\) und \(-y\) oder \(+4x\) und \(-4x\). Sie ergeben zusammen 0.
Eine Lösung eines Gleichungssystems ist meistens ein Zahlenpaar, zum Beispiel \((3|5)\). Das bedeutet: \(x=3\) und \(y=5\) müssen gleichzeitig in beide Ausgangsgleichungen passen.
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Gleichungen direkt addieren
Wenn eine Variable schon mit Gegenzahlen vorkommt, kannst du direkt addieren.
Löse das Gleichungssystem:
- Addiere beide Gleichungen:
$$ (x+2y)+(x-2y)=12+4 $$
- Fasse zusammen:
$$ 2x=16 $$
- Teile durch 2:
$$ x=8 $$
- Setze \(x=8\) in die erste Gleichung ein:
$$ 8+2y=12 $$$$ 2y=4 $$$$ y=2 $$
- Probe in der zweiten Gleichung:
$$ 8-2\cdot2=8-4=4 $$
Die Lösung ist \(x=8\) und \(y=2\).
Eine Dezimalzahl als Lösung ist erlaubt. Wenn Brüche im Unterricht bevorzugt werden, kannst du \(2{,}5\) auch als \(\frac{5}{2}\) schreiben.
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Vorher passend multiplizieren
Oft passen die Zahlen vor den Variablen noch nicht. Dann multiplizierst du eine oder beide Gleichungen, bis Gegenzahlen entstehen.
Koeffizient
Ein Koeffizient ist die Zahl vor einer Variable. In \(4x\) ist 4 der Koeffizient von \(x\).
Vor dem Rechnen lohnt sich eine kurze Entscheidung:
- Gibt es schon Gegenzahlen? Dann addierst du direkt.
- Gibt es gleiche Koeffizienten mit gleichem Vorzeichen? Dann kannst du eine Gleichung mit \(-1\) multiplizieren.
- Gibt es verschiedene Koeffizienten? Dann suchst du ein gemeinsames Vielfaches, zum Beispiel aus 2 und 3 wird 6.
Löse:
- Die \(y\)-Koeffizienten sind \(2\) und \(-1\). Mache daraus \(+2y\) und \(-2y\).
- Multipliziere die zweite Gleichung mit 2:
$$ 6x-2y=10 $$
- Addiere mit der ersten Gleichung:
$$ (x+2y)+(6x-2y)=11+10 $$
- Fasse zusammen:
$$ 7x=21 $$
- Teile durch 7:
$$ x=3 $$
- Setze \(x=3\) in die erste Gleichung ein:
$$ 3+2y=11 $$$$ 2y=8 $$$$ y=4 $$
- Probe in der zweiten Gleichung:
$$ 3\cdot3-4=9-4=5 $$
Die Lösung ist \(x=3\) und \(y=4\).
Manchmal entstehen beim Additionsverfahren Brüche oder Dezimalzahlen. Das ist nicht automatisch falsch. Für den Einstieg sind glatte Zahlen aber besser, weil du die Methode klarer siehst.
Manchmal musst du beide Gleichungen multiplizieren:
- Die \(y\)-Koeffizienten sind \(3\) und \(-2\). Daraus sollen \(+6y\) und \(-6y\) werden.
- Multipliziere die erste Gleichung mit 2:
$$ 4x+6y=26 $$
- Multipliziere die zweite Gleichung mit 3:
$$ 9x-6y=0 $$
- Addiere:
$$ 13x=26 $$
- Teile durch 13:
$$ x=2 $$
- Setze in die erste Gleichung ein:
$$ 2\cdot2+3y=13 $$$$ 3y=9 $$$$ y=3 $$
- Probe in der zweiten Gleichung:
$$ 3\cdot2-2\cdot3=6-6=0 $$
Die Lösung ist \(x=2\) und \(y=3\).
Multipliziere immer die ganze Gleichung: linke Seite und rechte Seite. Sonst veränderst du die Lösung.
Prüfungsstrategie: Wenn Gegenzahlen schon da sind, addiere direkt. Wenn nicht, vergleiche die Koeffizienten und erzeuge die kleinsten passenden Gegenzahlen.
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Eine vollständige Lösung mit Probe
Nach dem Eliminieren hast du erst eine Variable. Die zweite findest du durch Einsetzen.
Löse:
- Addiere beide Gleichungen:
$$ 8x=16 $$
- Teile durch 8:
$$ x=2 $$
- Setze \(x=2\) in die erste Gleichung ein:
$$ 3\cdot2+2y=16 $$$$ 6+2y=16 $$$$ 2y=10 $$$$ y=5 $$
- Probe in der zweiten Gleichung:
$$ 5\cdot2-2\cdot5=10-10=0 $$
Die Lösung ist \(x=2\) und \(y=5\).
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Prüfungsmodus
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Zusammenfassung
Das Additionsverfahren löst lineare Gleichungssysteme, indem eine Variable beim Addieren verschwindet. Dafür brauchst du Gegenzahlen. Wenn sie noch nicht da sind, multiplizierst du ganze Gleichungen passend. Danach berechnest du die erste Variable, setzt sie ein und prüfst die Lösung mit einer Probe.