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Schnittwinkel berechnen: Geraden, Funktionen, Ebenen
Der Schnittwinkel ist der kleinere Winkel, unter dem sich zwei geometrische Objekte schneiden. Bei Geraden in Funktionsform berechnest du ihn aus den Steigungen; bei gekrümmten Funktionen brauchst du die Tangentensteigungen am Schnittpunkt. Für eine Gerade und eine Ebene arbeitest du mit Vektoren.
Auf dieser Seite lernst du, zuerst den passenden Fall zu erkennen und den Winkel anschließend sicher zu berechnen. Stelle deinen Taschenrechner für Winkelangaben in Grad auf DEG.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was genau ist der Schnittwinkel?
Schneiden sich zwei verschiedene Geraden, entstehen vier Winkel. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Als Schnittwinkel $\alpha$ bezeichnet man meist den kleineren Winkel; deshalb gilt $0^\circ<\alpha\leq90^\circ$.
Der benachbarte größere Winkel heißt hier $\beta$. Beide ergänzen sich zu $180^\circ$:
$$\alpha+\beta=180^\circ$$
In der Form $y=mx+b$ musst du bei gleicher Steigung genauer hinsehen:
- Gleiche Steigung und verschiedene Achsenabschnitte bedeuten: Die Geraden sind parallel und besitzen keinen Schnittpunkt.
- Gleiche Steigung und gleicher Achsenabschnitt bedeuten: Die Geraden sind identisch. Sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte, aber keinen eindeutig bestimmten Schnittwinkel.
Die Geraden $y=2x-1$ und $y=2x+4$ haben beide die Steigung $2$, aber verschiedene Achsenabschnitte. Sie sind parallel; ein Schnittwinkel existiert nicht.
Wie berechnest du den Winkel zwischen zwei Geraden?
Für zwei sich schneidende Geraden in der Form $y=m_1x+b_1$ und $y=m_2x+b_2$ setzt du die Steigungen in die Formel ein:
$$\tan\alpha=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$$
Danach wendest du den Arcustangens an. Er ist die Umkehrfunktion des Tangens und steht auf vielen Taschenrechnern als $\tan^{-1}$:
$$\alpha=\arctan\left(\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\right)$$
Der Betrag sorgt dafür, dass du den positiven kleineren Winkel erhältst. Die Reihenfolge von $m_1$ und $m_2$ ändert das Ergebnis daher nicht.
Prüfe vor dem Einsetzen: Sind die Steigungen gleich, gibt es keinen eindeutig bestimmten Schnittwinkel. Gilt $m_1m_2=-1$, stehen die Geraden senkrecht und $\alpha=90^\circ$. In diesem Sonderfall wäre der Nenner der Formel null.
Gegeben sind $g:y=0{,}25x+3$ und $h:y=2x-7$.
- Lies die Steigungen ab: $m_1=0{,}25$ und $m_2=2$.
- Setze sie ein:
$$\tan\alpha=\left|\frac{0{,}25-2}{1+0{,}25\cdot2}\right|=\left|\frac{-1{,}75}{1{,}5}\right|=\frac76$$
- Wende den Arcustangens im Gradmaß an:
$$\alpha=\arctan\left(\frac76\right)\approx49{,}4^\circ$$
Das Ergebnis ist plausibel: Es ist positiv und kleiner als $90^\circ$.
Wie findest du die Winkel zu den Koordinatenachsen?
Für eine nicht waagerechte Gerade $y=mx+b$ mit $m\neq0$ hängt der kleinere Schnittwinkel mit der $x$-Achse nur von der Steigung ab:
$$\alpha=\arctan(|m|)$$
Die $x$- und die $y$-Achse stehen senkrecht aufeinander. Deshalb ergänzen sich die beiden kleineren Achsenwinkel zu $90^\circ$:
$$\beta=90^\circ-\alpha$$
Für $y=-1{,}5x+6$ ist $m=-1{,}5$.
$$\alpha=\arctan(|-1{,}5|)=\arctan(1{,}5)\approx56{,}3^\circ$$
$$\beta=90^\circ-56{,}3^\circ=33{,}7^\circ$$
Kontrolle: $56{,}3^\circ+33{,}7^\circ=90^\circ$.
Was ändert sich bei gekrümmten Funktionen?
Bei einer nichtlinearen Funktion ist die Steigung nicht überall gleich. Deshalb verwendest du am Schnittpunkt die Steigung der Tangente, also der Geraden, die den Funktionsgraphen dort lokal berührt. Die Ableitung liefert diese lokale Steigung.
Schneiden sich $f$ und $g$ bei der Stelle $x=a$, dann setzt du $m_1=f'(a)$ und $m_2=g'(a)$ in die Geradenformel ein. Bei mehreren Schnittpunkten kann ein anderer Winkel entstehen, weil sich die lokalen Steigungen ändern können.
Gegeben sind $f(x)=x^2+2$ und $g(x)=2x+5$.
- Bestimme die Schnittstellen aus $x^2+2=2x+5$. Es ergibt sich $x=-1$ oder $x=3$.
- Für den Punkt bei $x=-1$ gilt $f'(x)=2x$ und $g'(x)=2$.
- Die lokalen Steigungen sind daher $m_1=f'(-1)=-2$ und $m_2=2$.
- Mit der Schnittwinkelformel erhältst du den kleineren Winkel $\alpha\approx53{,}13^\circ$.
Entscheidend ist: Du setzt nicht einfach die Funktionsgleichungen ein, sondern ihre Steigungen am betrachteten Schnittpunkt.
Vertiefung: Wie berechnest du den Winkel zwischen Gerade und Ebene?
Im Raum brauchst du zwei Vektoren: den Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden und den Normalenvektor $\vec n$ der Ebene. Ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.
Der kleinere Schnittwinkel $\gamma$ zwischen Gerade und Ebene erfüllt:
$$\sin\gamma=\left|\frac{\vec u\cdot\vec n}{|\vec u|\cdot|\vec n|}\right|$$
Dabei bedeutet $\vec u\cdot\vec n$ das Skalarprodukt und $|\vec u|$, $|\vec n|$ die Vektorlängen. Anschließend berechnest du $\gamma$ mit dem Arkussinus.
Für $\vec u=(2,4,3)$ und $\vec n=(-1,2,4)$ gilt:
$$\vec u\cdot\vec n=2\cdot(-1)+4\cdot2+3\cdot4=18$$
$$|\vec u|=\sqrt{2^2+4^2+3^2}=\sqrt{29},\qquad |\vec n|=\sqrt{(-1)^2+2^2+4^2}=\sqrt{21}$$
Damit:
$$\sin\gamma=\frac{18}{\sqrt{29}\sqrt{21}}$$
$$\gamma=\arcsin\left(\frac{18}{\sqrt{29}\sqrt{21}}\right)\approx46{,}84^\circ$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Schnittwinkel berechnen
- Zuerst den geometrischen Fall erkennen
- Zwei Geraden: Steigungen und Achsenabschnitte vergleichen
- Schneidende Geraden: Geradenformel oder 90-Grad-Sonderfall nutzen
- Koordinatenachsen: $\arctan(|m|)$ und Ergänzung zu $90^\circ$
- Gekrümmte Funktionen: Ableitungswerte am Schnittpunkt bestimmen
- Gerade und Ebene: Richtungs- und Normalenvektor verwenden
- Ergebnis prüfen: kleiner positiver Winkel bis $90^\circ$