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Das Spatprodukt verbindet Vektoren mit Volumen. Nach dieser Seite kannst du berechnen, ob drei Vektoren einen Raumkörper aufspannen und wie groß dessen Volumen ist.
- Ich kann das Spatprodukt geometrisch deuten.
- Ich kann Kreuzprodukt und Skalarprodukt im Spatprodukt erkennen.
- Ich kann ein Spatvolumen berechnen.
- Ich kann das Vorzeichen einordnen.
- Ich kann Koplanarität prüfen.
Grundidee
Zuerst erzeugen zwei Vektoren eine Grundfläche. Das Kreuzprodukt steht senkrecht darauf. Das Skalarprodukt mit dem dritten Vektor liefert die passende Höhe mit Vorzeichen.
Spatprodukt
Das Spatprodukt dreier Vektoren ist \([\vec a,\vec b,\vec c]=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\). Sein Betrag ist das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spats.
Berechne das Spatprodukt für \(\vec a=(1,0,0)\), \(\vec b=(0,2,0)\), \(\vec c=(0,0,3)\).
- \(\vec a\times\vec b=(0,0,2)\).
- Skalarprodukt mit \(\vec c\): \((0,0,2)\cdot(0,0,3)=6\).
- Der Betrag ist 6.
Das Volumen beträgt 6 Volumeneinheiten.
Volumen ist immer der Betrag des Spatprodukts. Ein negatives Spatprodukt bedeutet nur eine andere Orientierung.
Schritt für Schritt
Du kannst das Spatprodukt auch als Determinante der Matrix mit den drei Vektoren berechnen. Ist das Spatprodukt 0, liegen die Vektoren in einer Ebene und spannen kein echtes Volumen auf.
Prüfe \(\vec a=(1,2,0)\), \(\vec b=(2,4,0)\), \(\vec c=(0,1,3)\).
- \(\vec b=2\vec a\).
- Zwei Vektoren sind also parallel.
- Die Grundfläche ist 0.
- Das Spatprodukt ist 0.
Die drei Vektoren spannen keinen Spat mit Volumen auf.
Für das Volumen einer dreiseitigen Pyramide mit denselben drei Kantenvektoren nimmst du ein Sechstel des Spatvolumens.
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Typische Fehler erkennen
Vergiss den Betrag nicht. Ein Ergebnis von \(-12\) bedeutet Volumen 12, nicht negatives Volumen.
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Prüfungsmodus
Schreibe nach einer Determinantenrechnung immer die Volumenantwort mit Betrag. Bei Aufgaben zu Koplanarität ist dagegen genau das Ergebnis 0 entscheidend.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
- Das Spatprodukt ist \((\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\).
- Sein Betrag ist das Volumen des Spats.
- Das Vorzeichen zeigt Orientierung.
- Bei Spatprodukt 0 spannen die Vektoren kein Volumen auf.