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Spatprodukt: Volumen berechnen und verstehen
Das Spatprodukt verbindet Kreuzprodukt und Skalarprodukt. Sein Betrag gibt das Volumen des Spats an, den drei Vektoren im Raum aufspannen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was misst das Spatprodukt?
Drei Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ können einen Spat aufspannen. Das ist ein schiefer, quaderähnlicher Körper mit sechs parallelogrammförmigen Seitenflächen.
Spatprodukt
Das Spatprodukt dreier Vektoren im dreidimensionalen Raum ist
$$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c.$$
Zuerst entsteht durch das Kreuzprodukt ein Vektor. Das anschließende Skalarprodukt liefert eine Zahl.
Diese Zahl ist ein orientiertes Volumen: Ihr Vorzeichen beschreibt zusätzlich die Orientierung der drei Vektoren. Das gewöhnliche geometrische Volumen ist deshalb
$$V=\left|(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\right|.$$
Das Spatprodukt darf negativ sein. Ein Volumen ist dagegen nie negativ, daher bildest du für das Volumen immer den Betrag.
Wie berechnest du das Volumen?
Gehe in drei Schritten vor:
- Berechne das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren.
- Bilde das Skalarprodukt des Ergebnisses mit dem dritten Vektor.
- Bilde für das Volumen den Betrag.
Gegeben sind
$$\vec d=\begin{pmatrix}2\\-1\\8\end{pmatrix},\quad \vec e=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\quad \vec f=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}.$$
Zuerst berechnen wir das Kreuzprodukt:
$$\vec d\times\vec e=\begin{pmatrix}(-1)\cdot3-8\cdot2\\8\cdot1-2\cdot3\\2\cdot2-(-1)\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-19\\2\\5\end{pmatrix}.$$
Danach folgt das Skalarprodukt mit $\vec f$:
$$(\vec d\times\vec e)\cdot\vec f=(-19)\cdot4+2\cdot0+5\cdot1=-71.$$
Das Spatprodukt ist $-71$. Für das Volumen bilden wir den Betrag:
$$V=|-71|=71\ \mathrm{VE}.$$
Der aufgespannte Spat hat ein Volumen von $71$ Volumeneinheiten.
Das Spatprodukt lässt sich auch als Determinante schreiben:
$$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=\det\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}.$$
Beide Rechenwege liefern bei gleicher Vektorreihenfolge denselben Wert.
Warum entsteht dabei ein Volumen?
Das Kreuzprodukt $\vec a\times\vec b$ steht senkrecht auf der von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Grundfläche. Seine Länge entspricht dem Flächeninhalt dieses Parallelogramms:
$$A_G=|\vec a\times\vec b|.$$
Beim Skalarprodukt mit $\vec c$ wird berücksichtigt, wie stark $\vec c$ in die Richtung des Normalenvektors zeigt. Genau dieser Anteil bestimmt die Höhe des Spats. So verbindet das Spatprodukt Grundfläche mal Höhe in einer Rechnung.
Das Vorzeichen hängt von der Orientierung ab. Bilden $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem, ist das Spatprodukt positiv. Bei einem Linkssystem ist es negativ.
Die Reihenfolge darf nicht beliebig geändert werden:
- Eine zyklische Verschiebung ändert den Wert nicht:
$$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=(\vec b\times\vec c)\cdot\vec a=(\vec c\times\vec a)\cdot\vec b.$$
- Beim Vertauschen von genau zwei Vektoren wechselt das Vorzeichen:
$$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=-(\vec b\times\vec a)\cdot\vec c.$$
Wann ist das Spatprodukt null?
Ist das Spatprodukt null, spannen die drei Vektoren kein räumliches Volumen auf. Sie liegen in einer gemeinsamen Ebene; man nennt sie komplanar.
Im dreidimensionalen Raum gilt:
$$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=0\quad\Longleftrightarrow\quad \vec a,\vec b,\vec c\text{ sind linear abhängig}.$$
Linear abhängig bedeutet: Mindestens einer der drei Vektoren lässt sich als Linearkombination der anderen ausdrücken. Der vermeintliche Spat ist dann zu einer Fläche oder Linie zusammengedrückt.
Für
$$\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad \vec b=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad \vec c=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$
gilt $\vec c=\vec a+\vec b$. Alle drei Vektoren liegen in der Ebene mit dritter Koordinate $0$.
Außerdem ist $\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ und damit
$$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=0\cdot1+0\cdot1+1\cdot0=0.$$
Die Rechnung bestätigt: Das aufgespannte Volumen ist null.
Spatprodukt $=0$: komplanar und linear abhängig. Spatprodukt $\ne0$: nicht komplanar und linear unabhängig.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Spatprodukt
- Rechnung: erst Kreuzprodukt, dann Skalarprodukt
- Geometrie: orientiertes Volumen eines Spats
- Volumen: Betrag des Spatprodukts
- Reihenfolge: zyklisch gleich, Tausch mit Vorzeichenwechsel
- Nullkriterium: komplanar und linear abhängig
- Alternative: Determinante der drei Vektoren