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Kreuzprodukt berechnen und anwenden
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren im dreidimensionalen Raum ergibt einen neuen Vektor. Er steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren. Ist er nicht der Nullvektor, kann er als gemeinsamer Normalenvektor verwendet werden. Sein Betrag liefert außerdem den Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was das Kreuzprodukt leistet
Kreuzprodukt
Für zwei dreikomponentige Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist $\vec a\times\vec b$ ein Vektor, der auf beiden Ausgangsvektoren senkrecht steht. Das Kreuzprodukt heißt deshalb auch Vektorprodukt. Ist das Ergebnis nicht der Nullvektor, ist es ein gemeinsamer Normalenvektor.
Verwechsle es nicht mit dem Skalarprodukt:
- Beim Skalarprodukt ist das Ergebnis eine Zahl.
- Beim Kreuzprodukt ist das Ergebnis ein Vektor.
Die Länge des Ergebnisvektors hängt vom eingeschlossenen Winkel $\varphi$ ab:
$$|\vec a\times\vec b|=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\sin(\varphi)$$
Dieser Betrag entspricht der Fläche des Parallelogramms, das $\vec a$ und $\vec b$ aufspannen. Bei festgehaltenen Vektorlängen ist der Betrag maximal, wenn beide Vektoren senkrecht zueinander stehen. Sind sie parallel, ist er null.
Das hier behandelte Kreuzprodukt ist ein Rechenverfahren für Vektoren mit drei Komponenten.
So berechnest du das Kreuzprodukt
Für
$$\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix},\qquad \vec b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$$
gilt:
$$\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}$$
Gehe in drei Schritten vor:
- Setze die passenden Komponenten in jede Zeile der Formel ein.
- Berechne jeweils „erstes Produkt minus zweites Produkt“.
- Schreibe die drei Ergebnisse in derselben Reihenfolge als Vektor auf.
Gegeben sind
$$\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\qquad \vec b=\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}.$$
Einsetzen ergibt:
$$\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}2\cdot1-1\cdot4\\1\cdot2-1\cdot1\\1\cdot4-2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}.$$
Der entscheidende Punkt ist die Reihenfolge der Subtraktion. In der zweiten Zeile steht $a_3b_1-a_1b_3$, also $1\cdot2-1\cdot1$.
Setze negative Zahlen in Klammern. So erkennst du leichter, ob du ein negatives Produkt subtrahierst.
So prüfst du Ergebnis und Richtung
Ein korrektes Kreuzprodukt muss zu beiden Ausgangsvektoren orthogonal sein. Das kannst du mit zwei Skalarprodukten prüfen: Beide müssen null ergeben.
Für das Beispiel aus dem vorigen Kapitel ist $\vec c=(-2,1,0)$:
$$\vec a\cdot\vec c=1\cdot(-2)+2\cdot1+1\cdot0=0$$
$$\vec b\cdot\vec c=2\cdot(-2)+4\cdot1+1\cdot0=0$$
Damit steht $\vec c$ tatsächlich senkrecht auf $\vec a$ und $\vec b$.
Die Reihenfolge der Faktoren bestimmt die Richtung:
$$\vec a\times\vec b=-(\vec b\times\vec a)$$
Vertauschst du die Vektoren, erhältst du den Gegenvektor. Die Rechte-Hand-Regel hilft bei der Orientierung: Zeigt dein Daumen in Richtung $\vec a$ und dein Zeigefinger in Richtung $\vec b$, zeigt der Mittelfinger in Richtung $\vec a\times\vec b$.
Sind die Ausgangsvektoren parallel oder ist einer der beiden der Nullvektor, gilt:
$$\vec a\times\vec b=\vec 0$$
Dann wird keine echte Parallelogrammfläche aufgespannt.
So berechnest du Flächen
Für ein von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespanntes Parallelogramm gilt:
$$A_{\text{Parallelogramm}}=|\vec a\times\vec b|$$
Für das zugehörige Dreieck halbierst du diese Fläche:
$$A_{\triangle}=\frac12|\vec a\times\vec b|$$
Gegeben sind
$$\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\qquad \vec b=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}.$$
Zuerst berechnest du den Normalenvektor:
$$\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}2\cdot0-3\cdot1\\3\cdot2-1\cdot0\\1\cdot1-2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}.$$
Dann bestimmst du seine Länge:
$$|\vec a\times\vec b|=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{54}\approx7{,}35.$$
Das Parallelogramm hat ungefähr $7{,}35$ Flächeneinheiten. Das von denselben Vektoren aufgespannte Dreieck hat den Flächeninhalt
$$A_{\triangle}=\frac12\sqrt{54}=\frac{3\sqrt6}{2}.$$
So wählst du die passende Anwendung
Das Kreuzprodukt ist besonders nützlich, wenn du einen Vektor brauchst, der zu zwei gegebenen Richtungen senkrecht steht. Ist das Kreuzprodukt nicht der Nullvektor, ist jedes skalare Vielfache mit einem Faktor ungleich null ebenfalls ein gemeinsamer Normalenvektor. Du darfst das Ergebnis daher manchmal vereinfachen.
| Gesucht | Passendes Werkzeug | ||
|---|---|---|---|
| gemeinsamer Normalenvektor | $\vec a\times\vec b$ | ||
| Prüfung des Normalenvektors | Skalarprodukt mit beiden Ausgangsvektoren | ||
| Parallelogrammfläche | $ | \vec a\times\vec b | $ |
| Dreiecksfläche | $\frac12 | \vec a\times\vec b | $ |
| Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Spats | $ | (\vec a\times\vec b)\cdot\vec c | $ |
Beim Spatprodukt berechnest du zuerst das Kreuzprodukt und bildest danach das Skalarprodukt mit dem dritten Vektor. Der Betrag sorgt dafür, dass das Volumen nicht negativ ist.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kreuzprodukt im Raum
- Berechnung: drei Komponenten mit fester Subtraktionsreihenfolge
- Geometrie: gemeinsamer Normalenvektor und orientierte Richtung
- Kontrolle: zwei Skalarprodukte ergeben null
- Sonderfall: parallele Vektoren ergeben den Nullvektor
- Fläche: Betrag für Parallelogramm, halber Betrag für Dreieck
- Volumen: Kreuzprodukt im Spatprodukt