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Das Kreuzprodukt begegnet dir in der Vektorgeometrie. Es erzeugt aus zwei Vektoren einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden steht. Damit kannst du Normalenvektoren und Flächeninhalte bestimmen.
- Ich kann erklären, was das Kreuzprodukt zweier Vektoren liefert.
- Ich kann die Formel für das Kreuzprodukt in drei Dimensionen anwenden.
- Ich kann mit dem Kreuzprodukt einen Normalenvektor finden.
- Ich kann die Länge des Kreuzprodukts als Flächeninhalt deuten.
Was das Kreuzprodukt liefert
Das Kreuzprodukt gibt es im Schulkontext für Vektoren im dreidimensionalen Raum. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor.
Kreuzprodukt
Für zwei Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) ist \(\vec a\times\vec b\) ein Vektor, der senkrecht auf \(\vec a\) und auf \(\vec b\) steht.
Wenn zwei Richtungsvektoren in einer Ebene liegen, ist ihr Kreuzprodukt ein Normalenvektor dieser Ebene. Er steht also senkrecht auf der Ebene.
Kreuzprodukt: zwei Vektoren hinein, ein senkrechter Vektor heraus.
Die Rechenformel
Für \(\vec a=(a_1,a_2,a_3)\) und \(\vec b=(b_1,b_2,b_3)\) rechnest du komponentenweise.
Normalenvektor
Ein Normalenvektor steht senkrecht auf einer Geraden, Ebene oder auf zwei Richtungsvektoren einer Ebene.
Seien \(\vec a=(1,2,3)\) und \(\vec b=(4,0,1)\).
Probe: \((2,11,-8)\cdot(1,2,3)=0\) und \((2,11,-8)\cdot(4,0,1)=0\).
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Flächeninhalt deuten
Die Länge des Kreuzprodukts ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird. Für ein Dreieck nimmst du die Hälfte.
Wenn \(|\vec a\times\vec b|=30\), dann hat das Parallelogramm den Flächeninhalt 30. Das zugehörige Dreieck hat den Flächeninhalt 15.
Für Dreiecksflächen mit zwei Spannvektoren: erst Kreuzproduktlänge, dann halbieren.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Das Kreuzprodukt ist ein Werkzeug der Raumgeometrie. Es liefert Normalenvektoren und über seine Länge Flächeninhalte.