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Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnen
Wie berechnest du das Kreuzprodukt zweier Raumvektoren?
Zusammenhang im Diagramm
Die Rechnung und alle Textergebnisse funktionieren auch ohne Diagramm.
Rechenweg
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Schritt 1: x-Komponente berechnen
Ziehe (Komponente a_z · Komponente bᵧ) von (Komponente aᵧ · Komponente b_z) ab.
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Schritt 2: y-Komponente berechnen
Ziehe (Komponente aₓ · Komponente b_z) von (Komponente a_z · Komponente bₓ) ab.
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Schritt 3: z-Komponente berechnen
Ziehe (Komponente aᵧ · Komponente bₓ) von (Komponente aₓ · Komponente bᵧ) ab.
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Schritt 4: Parallelogrammfläche bestimmen
Berechne „Parallelogrammfläche“ aus „x-Komponente“, „y-Komponente“ und „z-Komponente“.
Parallelogrammfläche
$$ F=\lVert\vec a\times\vec b\rVert $$
Das Kreuzprodukt lautet (0; 0; 1); sein Betrag und die Parallelogrammfläche sind 1.
Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren; bei parallelen Vektoren verschwindet es.
Kurz erklärt
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren im Raum ist wieder ein Vektor. Es steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren, und seine Richtung wird durch die Rechte-Hand-Regel festgelegt. Sein Betrag entspricht der Fläche des aufgespannten Parallelogramms; für die Fläche des zugehörigen Dreiecks nimmst du die Hälfte.
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