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Eine Ebene kann wie ein Spiegel im Raum wirken. Ein Punkt und sein Spiegelpunkt liegen dann auf einer Senkrechten zur Ebene und haben denselben Abstand von ihr.
- Ich kann erklären, was eine Spiegelung an einer Ebene bedeutet.
- Ich kann den Lotfußpunkt als Hilfspunkt nutzen.
- Ich kann die Spiegelpunkt-Formel mit einem Normalenvektor anwenden.
- Ich kann typische Vorzeichenfehler vermeiden.
Die geometrische Idee
Bei einer Spiegelung an einer Ebene bleibt die Ebene selbst fest. Der Punkt wandert auf die andere Seite. Die Verbindung von Punkt und Spiegelpunkt steht senkrecht auf der Ebene.
Spiegelung an einer Ebene
Bei der Spiegelung an einer Ebene liegt die Ebene genau in der Mitte zwischen Punkt \(P\) und Spiegelpunkt \(P'\). Die Strecke \(PP'\) steht senkrecht auf der Ebene.
Spiegelst du einen Punkt an der Ebene \(z=0\), dann bleibt x und y gleich, aber z wechselt das Vorzeichen. Aus \(P(2|3|5)\) wird \(P'(2|3|-5)\).
Punkt und Spiegelpunkt haben denselben Abstand zur Ebene, aber sie liegen auf verschiedenen Seiten.
Über den Lotfußpunkt
Der Lotfußpunkt ist der Punkt auf der Ebene, der dem gegebenen Punkt am nächsten liegt. Er ist die Mitte zwischen Punkt und Spiegelpunkt.
Lotfußpunkt
Der Lotfußpunkt \(F\) ist der Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden durch \(P\), die senkrecht zur Ebene verläuft.
Gegeben ist \(P(1|2|6)\) und die Ebene \(z=2\).
- Der Lotweg verläuft nur in z-Richtung.
- Lotfußpunkt: \(F(1|2|2)\).
- Von \(P\) zu \(F\) geht es 4 Einheiten nach unten.
- Noch einmal 4 Einheiten nach unten ergibt \(P'(1|2|-2)\).
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Mit Normalenvektor rechnen
In der Oberstufe wird die Ebene oft in Koordinatenform gegeben. Der Normalenvektor zeigt senkrecht zur Ebene. Entlang dieser Richtung suchst du den Lotfußpunkt.
Ebene \(E: z=0\), Punkt \(P(4|-1|3)\).
- Ein Normalenvektor ist \(\vec n=(0,0,1)\).
- Die Lotgerade ist \(g(t)=P+t\vec n=(4,-1,3+t)\).
- In die Ebene einsetzen: \(3+t=0\), also \(t=-3\).
- Lotfußpunkt \(F(4|-1|0)\).
- Spiegelpunkt: \(P'=2F-P=(4|-1|-3)\).
Die Formel \(P'=2F-P\) ist oft der sauberste Schluss. Sie drückt aus: F ist die Mitte zwischen P und P'.
Prüfungsmodus
Kontrolliere nach dem Rechnen zwei Dinge: Liegt der Lotfußpunkt wirklich in der Ebene? Hat \(F\) die gleiche Mitteigenschaft zwischen \(P\) und \(P'\)?
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Bei der Spiegelung an einer Ebene suchst du zuerst die senkrechte Verbindung zur Ebene. Der Lotfußpunkt liegt auf der Ebene und ist die Mitte zwischen Punkt und Spiegelpunkt. Mit \(P'=2F-P\) bekommst du den gesuchten Punkt zuverlässig.