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Spiegelung an einer Ebene sicher berechnen
Bei einer Spiegelung an einer Ebene läuft jeder Punkt senkrecht zur Spiegelebene auf die andere Seite. Der Lotfußpunkt liegt genau in der Mitte zwischen Ausgangspunkt und Spiegelpunkt. Dieses Grundprinzip reicht aus, um auch Geraden und ganze Ebenen zu spiegeln.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bei einer Spiegelung feststeht
Stell dir die Ebene als ebenen Spiegel im Raum vor. Die kürzeste Verbindung von einem Punkt $P$ zur Ebene verläuft in Richtung eines Normalenvektors. Ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.
Lotfußpunkt
Der Lotfußpunkt $S$ ist der Schnittpunkt der senkrechten Hilfsgeraden durch $P$ mit der Spiegelebene. Bei der Spiegelung ist $S$ der Mittelpunkt der Strecke zwischen $P$ und $P'$.
Daraus folgt die zentrale Beziehung:
$$\vec p'=2\vec s-\vec p$$
Dabei sind $\vec p$, $\vec s$ und $\vec p'$ die Ortsvektoren von $P$, $S$ und $P'$.
Punkte, die bereits in der Spiegelebene liegen, verändern sich nicht. Für sie gilt $P'=P$.
Die Spiegelebene ist die Mittelsenkrechten-Ebene der Strecke $PP'$: $PP'$ steht senkrecht auf der Ebene, und der Lotfußpunkt halbiert die Strecke.
Einen Punkt mit dem Lotfußpunkt spiegeln
Gegeben sind
$$E:2x_1+x_2+2x_3=20$$
und $P(7|6|9)$. So gehst du vor:
- Lies aus der Koordinatenform einen Normalenvektor ab: $\vec n=(2|1|2)$.
- Stelle die Hilfsgerade durch $P$ in Normalenrichtung auf.
- Schneide die Hilfsgerade mit der Ebene. So erhältst du $S$.
- Berechne $P'$ mit $\vec p'=2\vec s-\vec p$.
- Prüfe, ob $S$ in der Ebene liegt und beide Streckenhälften gleich sind.
Die Hilfsgerade lautet
$$h:\vec x=\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}.$$
Einsetzen in $E$ ergibt
$$2(7+2\lambda)+(6+\lambda)+2(9+2\lambda)=20,$$
also $38+9\lambda=20$ und damit $\lambda=-2$.
Der Lotfußpunkt ist
$$\vec s=\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}.$$
Nun spiegelst du $P$ an $S$:
$$\vec p'=2\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}.$$
Damit ist $P'(-1|2|1)$.
Zur Kontrolle: $2\cdot3+4+2\cdot5=20$, also liegt $S$ in $E$. Außerdem gilt $\overrightarrow{PS}=(-4|-2|-4)=\overrightarrow{SP'}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Lotfußpunktverfahren hat die Hilfsgerade den Richtungsvektor der Ebene. Ihr Schnittpunkt mit der Ebene ist der . Danach gilt $\vec p'=$.
Die direkte Formel nutzen
Liegt die Ebene in Normalenform
$$E:\vec x\cdot\vec n=d$$
vor, kannst du den Spiegelpunkt ohne einen getrennt berechneten Lotfußpunkt bestimmen:
$$\vec p'=\vec p+\frac{2(d-\vec p\cdot\vec n)}{\vec n\cdot\vec n}\vec n.$$
Voraussetzung ist $\vec n\ne\vec 0$. Der Bruch bestimmt, wie weit du in Normalenrichtung gehen musst. Der Nenner $\vec n\cdot\vec n$ ist das Quadrat der Länge des Normalenvektors.
Gegeben sind $P(3|2|1)$ und
$$E:\vec x\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=6.$$
Es gilt
$$\vec p\cdot\vec n=3\cdot1+2\cdot0+1\cdot(-1)=2$$
und
$$\vec n\cdot\vec n=1^2+0^2+(-1)^2=2.$$
Damit ist der Faktor
$$\frac{2(6-2)}{2}=4.$$
Also
$$\vec p'=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+4\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\\-3\end{pmatrix}.$$
Der Spiegelpunkt ist $P'(7|2|-3)$.
Wenn $P$ bereits in der Ebene liegt, gilt $\vec p\cdot\vec n=d$. Dann wird der Zähler null und die Formel liefert folgerichtig $\vec p'=\vec p$.
Eine Gerade spiegeln
Eine Gerade spiegelst du, indem du geeignete Punkte spiegelst und fest bleibende Elemente nutzt. Zuerst entscheidest du über ihre Lage zur Spiegelebene.
Die Gerade ist parallel zur Ebene
Wähle einen Punkt der Geraden und spiegle ihn. Der Spiegelpunkt wird zum Aufpunkt der Bildgeraden. Den Richtungsvektor kannst du übernehmen, weil er parallel zur Ebene verläuft.
Liegt die Gerade vollständig in der Spiegelebene, bleiben sogar alle ihre Punkte fest. Die Bildgerade ist dann dieselbe Gerade.
Die Gerade schneidet die Ebene
Bestimme den Schnittpunkt $S$ von Gerade und Ebene. Dieser Punkt bleibt fest. Wähle einen weiteren Punkt $P$ auf der Geraden, spiegle ihn zu $P'$ und verwende $\overrightarrow{SP'}$ als Richtungsvektor der Bildgeraden.
Bei einer schneidenden Geraden brauchst du nur einen Punkt zu spiegeln: Der Schnittpunkt mit der Spiegelebene ist bereits ein zweiter Punkt der Bildgeraden.
Eine ganze Ebene spiegeln
Auch eine Ebene bestimmst du über Punkte und Richtungen. Es gibt zwei wichtige Lagefälle.
Parallele Ebenen
Sind
$$E:a x_1+b x_2+c x_3=d_1$$
und die Spiegelebene
$$H:a x_1+b x_2+c x_3=d_2$$
mit demselben orientierten Normalenvektor geschrieben, dann lautet die Bildebene
$$E':a x_1+b x_2+c x_3=d_3$$
mit
$$d_3=2d_2-d_1.$$
Für
$$E:5x_1-x_2+2x_3=-3$$
und
$$H:5x_1-x_2+2x_3=-30$$
gilt
$$d_3=2\cdot(-30)-(-3)=-57.$$
Damit ist
$$E':5x_1-x_2+2x_3=-57.$$
Sich schneidende Ebenen
Die Schnittgerade beider Ebenen liegt in der Spiegelebene und bleibt fest. Wähle zusätzlich einen Punkt $P$ der zu spiegelnden Ebene, der nicht auf der Schnittgeraden liegt. Spiegle ihn zu $P'$. Die feste Schnittgerade und $P'$ bestimmen anschließend die Bildebene.
Alternativ kannst du drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte der Ausgangsebene spiegeln. Die drei Bildpunkte bestimmen die Bildebene.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Spiegelung an einer Ebene
- Punkt: Normalengerade, Lotfußpunkt, Mittelpunkt
- Direkte Rechnung: Normalenform und Korrekturfaktor
- Gerade: parallelen oder schneidenden Fall unterscheiden
- Ebene: parallelen oder schneidenden Fall unterscheiden
- Kontrolle: feste Punkte und gleiche Abstände prüfen
Abschluss-Check
Du hast das Verfahren verstanden, wenn du zuerst die Lage erkennst, dann die Normalenrichtung nutzt und dein Ergebnis über feste Punkte, Mittelpunkt oder gleiche Abstände kontrollierst.