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Spurpunkte einer Geraden berechnen – einfach erklärt
Ein Spurpunkt ist ein Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene. Du findest ihn, indem du die Koordinate, die in dieser Ebene immer null ist, gleich null setzt, den Geradenparameter berechnest und ihn in die gesamte Geradengleichung einsetzt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Ebene gehört zu welcher Nullkoordinate?
Im Raum hat ein Punkt drei Koordinaten: $P(x_1|x_2|x_3)$. Eine Koordinatenebene wird von zwei Achsen aufgespannt. Die dritte Koordinate ist dort immer null.
Spurpunkt
Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene. In diesem Wiki bezeichnet der Index die Ebene:
- $S_{12}$ liegt in der $x_1x_2$-Ebene, also gilt $x_3=0$.
- $S_{13}$ liegt in der $x_1x_3$-Ebene, also gilt $x_2=0$.
- $S_{23}$ liegt in der $x_2x_3$-Ebene, also gilt $x_1=0$.
Die Koordinate, deren Nummer im Ebenennamen fehlt, wird null.
Manche Darstellungen nennen den Schnitt mit der $x_2x_3$-Ebene auch $S_1$, weil dort $x_1=0$ gilt. Prüfe deshalb immer, welches Bezeichnungssystem verwendet wird.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
In der $x_1x_2$-Ebene gilt . In der $x_1x_3$-Ebene gilt . In der $x_2x_3$-Ebene gilt .
So berechnest du einen Spurpunkt
Eine Gerade in Parameterform hat die Gestalt
$$\vec x=\vec a+t\vec v.$$
Dabei ist $\vec a$ der Stützvektor, $\vec v$ der Richtungsvektor und $t$ der Parameter.
Gehe für jede gewünschte Koordinatenebene in vier Schritten vor:
- Bestimme die Nullkoordinate der Ebene.
- Setze die passende Koordinatengleichung $a_i+t\,v_i=0$.
- Löse diese Gleichung nach $t$.
- Setze den gefundenen Wert in alle drei Koordinatengleichungen ein und notiere den Punkt.
Gesucht ist zunächst nur $S_{12}$ der Geraden
$$g:\ \vec x=\begin{pmatrix}-2\\-4\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}.$$
Für die $x_1x_2$-Ebene muss $x_3=0$ gelten. Aus der dritten Koordinate folgt
$$0=4-t \quad\Rightarrow\quad t=4.$$
Nun wird $t=4$ in die gesamte Gerade eingesetzt:
$$\vec x=\begin{pmatrix}-2+4\cdot2\\-4+4\cdot2\\4+4\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\4\\0\end{pmatrix}.$$
Also ist $S_{12}=(6|4|0)$. Die dritte Koordinate ist tatsächlich null; der Punkt liegt damit in der richtigen Ebene.
Ein vollständiges Beispiel mit drei Ebenen
Für dieselbe Gerade berechnen wir nun alle Spurpunkte:
$$g:\ \vec x=\begin{pmatrix}-2\\-4\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}.$$
$S_{12}$ ist bereits bekannt:
$$x_3=0 \Rightarrow 4-t=0 \Rightarrow t=4 \Rightarrow S_{12}=(6|4|0).$$
Für $S_{23}$ gilt $x_1=0$:
$$-2+2t=0 \Rightarrow t=1.$$
Einsetzen liefert
$$S_{23}=(-2+2|-4+2|4-1)=(0|-2|3).$$
Für $S_{13}$ gilt $x_2=0$:
$$-4+2t=0 \Rightarrow t=2.$$
Einsetzen liefert
$$S_{13}=(-2+4|-4+4|4-2)=(2|0|2).$$
Prüfe am Ende jeweils die Nullkoordinate: Bei $S_{12}$ ist $x_3=0$, bei $S_{23}$ ist $x_1=0$ und bei $S_{13}$ ist $x_2=0$.
Sonderfälle sicher erkennen
Entscheidend ist die Gleichung der Nullkoordinate:
$$a_i+t\,v_i=0.$$
Daraus entstehen genau drei Fälle.
- Genau ein Spurpunkt: Ist $v_i\neq0$, lässt sich genau ein Wert für $t$ bestimmen.
- Kein Spurpunkt: Ist $v_i=0$ und $a_i\neq0$, bleibt die Koordinate immer ungleich null. Die Gerade ist zur Ebene parallel und liegt nicht in ihr.
- Unendlich viele gemeinsame Punkte: Sind $v_i=0$ und $a_i=0$, ist die Koordinate für jedes $t$ null. Die ganze Gerade liegt in der Ebene.
Schneidet die Gerade eine Koordinatenachse, können zwei Spurpunkte derselbe geometrische Punkt sein. Verläuft sie durch den Ursprung, können alle drei Spurpunkte im Ursprung zusammenfallen. Unterscheide deshalb Ebenenschnitte von der Anzahl verschiedener Punkte.
Teile nie ungeprüft durch die betreffende Komponente des Richtungsvektors. Ist sie null, musst du zwischen „kein Schnitt“ und „Gerade liegt in der Ebene“ unterscheiden.
Spurpunkte anwenden und die Gerade skizzieren
Berechne die Spurpunkte der Geraden
$$g:\ \vec x=\begin{pmatrix}-4\\3\\-3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}.$$
Vergleiche erst danach deinen Weg mit der Lösung.
Für $S_{12}$ gilt $x_3=0$:
$$-3-2t=0 \Rightarrow t=-\frac{3}{2}.$$
Damit ist
$$S_{12}=\left(-1\middle|\frac{3}{2}\middle|0\right).$$
Für $S_{23}$ gilt $x_1=0$:
$$-4-2t=0 \Rightarrow t=-2 \Rightarrow S_{23}=(0|1|1).$$
Für $S_{13}$ gilt $x_2=0$:
$$3+t=0 \Rightarrow t=-3 \Rightarrow S_{13}=(2|0|3).$$
Jeder Punkt besitzt die zur Ebene passende Nullkoordinate. Damit ist die Zuordnung geprüft.
Zum Skizzieren trägst du zwei Spurpunkte in ein räumliches Koordinatensystem ein und zeichnest die Gerade durch beide Punkte. Der dritte Spurpunkt dient als Kontrolle: Er muss auf derselben Geraden liegen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Spurpunkte einer Geraden
- Koordinatenebenen
- $S_{12}$: $x_3=0$
- $S_{13}$: $x_2=0$
- $S_{23}$: $x_1=0$
- Berechnung
- Nullkoordinate setzen
- Parameter bestimmen
- vollständig einsetzen und prüfen
- Sonderfälle
- genau ein Schnittpunkt
- kein Schnittpunkt
- Gerade liegt in der Ebene
- Anwendung
- zwei Spurpunkte zum Skizzieren
- weiterer Spurpunkt zur Kontrolle
- Koordinatenebenen