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Steckbriefaufgaben lösen: Methode und Beispiele
Bei einer Steckbriefaufgabe rekonstruierst du einen Funktionsterm aus Eigenschaften seines Graphen. Dazu wählst du einen passenden Ansatz, übersetzt jede Angabe in eine Gleichung, bestimmst die unbekannten Parameter und prüfst das Ergebnis.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So gehst du systematisch vor
Eine Steckbriefaufgabe kehrt die übliche Funktionsuntersuchung um: Du startest nicht mit dem Funktionsterm, sondern mit Eigenschaften des Graphen.
- Funktionsart erkennen: Wird ein Polynom, eine Exponentialfunktion oder eine andere Funktionsart gesucht?
- Ansatz aufstellen: Für ein allgemeines Polynom dritten Grades lautet er zum Beispiel $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
- Parameter zählen: Die vier Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ erfordern vier unabhängige Bedingungen.
- Ableitungen bilden: Du brauchst sie für Steigungen, Extremstellen, Wendestellen und Berührungen.
- Angaben übersetzen: Setze die Bedingungen in $f$, $f'$ oder $f''$ ein.
- Gleichungssystem lösen: Bestimme daraus die Parameter.
- Probe durchführen: Setze alle Vorgaben in den fertigen Funktionsterm und seine Ableitungen ein.
Unabhängig bedeutet: Eine Bedingung muss neue Information liefern. Zwei nur unterschiedlich formulierte, aber gleichwertige Gleichungen reichen nicht für zwei Parameter.
Ein allgemeines Polynom vom Grad $n$ besitzt $n+1$ Koeffizienten. Daher brauchst du normalerweise $n+1$ unabhängige Bedingungen.
Angaben in Gleichungen übersetzen
Ein Punkt $P(x_P\mid y_P)$ auf dem Graphen liefert die Bedingung $f(x_P)=y_P$. Angaben über die Steigung gehören zur ersten Ableitung, Angaben über die Krümmung zur zweiten Ableitung.
| Angabe | Mathematische Bedingung |
|---|---|
| Punkt $P(x_P\mid y_P)$ | $f(x_P)=y_P$ |
| Nullstelle bei $x_0$ | $f(x_0)=0$ |
| y-Achsenabschnitt $y_0$ | $f(0)=y_0$ |
| Steigung $m$ bei $x_M$ | $f'(x_M)=m$ |
| Waagrechte Tangente bei $x_E$ | $f'(x_E)=0$ |
| Vollständig angegebener Extrempunkt $E(x_E\mid y_E)$ | $f(x_E)=y_E$ und $f'(x_E)=0$ |
| Mögliche Wendestelle bei $x_W$ | $f''(x_W)=0$ |
Eine Tangente, die parallel zur Geraden $y=mx+n$ verläuft, hat dieselbe Steigung. Deshalb gilt an der angegebenen Stelle $f'(x)=m$; der Achsenabschnitt $n$ ist dafür unerheblich.
Die Angabe, dass der Graph die x-Achse bei $x_0$ schneidet, liefert zunächst $f(x_0)=0$. Bei einer Berührung mit waagrechter Tangente kommt $f'(x_0)=0$ hinzu. Diese Gleichungen übersetzen die Vorgaben in notwendige Bedingungen; nach dem Lösen prüfst du zusätzlich, ob der Graph dort tatsächlich schneidet oder berührt.
Ein Graph enthält den Punkt $P(2\mid8)$ und hat dort die Steigung $12$. Daraus entstehen zwei Bedingungen:
$$f(2)=8$$
$$f'(2)=12$$
Die Punktlage und die Steigung sind zwei verschiedene Informationen.
Symmetrie und Nullstellen verkürzen den Ansatz
Bei Achsensymmetrie zur y-Achse gilt $f(-x)=f(x)$. Ein Polynom enthält dann nur gerade Potenzen. Für den Grad 4 genügt daher
$$f(x)=ax^4+cx^2+e.$$
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung gilt $f(-x)=-f(x)$. Dann bleiben nur ungerade Potenzen übrig. Für den Grad 3 lautet der Ansatz
$$f(x)=ax^3+cx.$$
Sind Nullstellen bekannt, kann die faktorierte Form besonders kurz sein. Eine quadratische Funktion mit den Nullstellen $1$ und $2$ hat den Ansatz
$$f(x)=a(x-1)(x-2).$$
Liegt zusätzlich $P(3\mid-2)$ auf dem Graphen, folgt
$$-2=a(3-1)(3-2)=2a,$$
also $a=-1$ und damit
$$f(x)=-(x-1)(x-2)=-x^2+3x-2.$$
Nutze Symmetrie und bekannte Nullstellen vor dem Aufstellen des Gleichungssystems. Dadurch entfallen unnötige Parameter und Gleichungen.
Ein vollständiges Beispiel lösen
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Ihr Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, besitzt die Nullstelle $x=2$ und den Hochpunkt $H(1\mid9)$.
Wegen der Achsensymmetrie wählen wir
$$f(x)=ax^4+cx^2+e.$$
Die erste Ableitung lautet
$$f'(x)=4ax^3+2cx.$$
Drei unbekannte Parameter verlangen drei unabhängige Bedingungen:
- Nullstelle: $f(2)=0$
- Punktlage des Hochpunkts: $f(1)=9$
- waagrechte Tangente: $f'(1)=0$
Einsetzen ergibt
$$16a+4c+e=0,$$
$$a+c+e=9,$$
$$4a+2c=0.$$
Aus der dritten Gleichung folgt $c=-2a$. Die zweite Gleichung liefert damit $e=9+a$. Eingesetzt in die erste Gleichung:
$$16a-8a+9+a=0$$
$$9a=-9$$
$$a=-1.$$
Daraus folgen $c=2$ und $e=8$. Der gesuchte Funktionsterm ist
$$f(x)=-x^4+2x^2+8.$$
Die Vorgaben prüfen
Für die Nullstelle gilt
$$f(2)=-16+8+8=0.$$
Für den angegebenen Punkt gilt
$$f(1)=-1+2+8=9.$$
Außerdem ist
$$f'(1)=-4+4=0.$$
Um den Hochpunkt vollständig nachzuweisen, betrachten wir
$$f''(x)=-12x^2+4.$$
Dann ist $f''(1)=-8<0$. Der Graph ist dort nach unten gekrümmt; $H(1\mid9)$ ist daher tatsächlich ein Hochpunkt.
Notwendige Bedingungen richtig einordnen
Die Gleichung $f'(x_E)=0$ ist eine notwendige Bedingung für einen inneren Extrempunkt mit waagrechter Tangente. Sie beweist allein aber noch keinen Hoch- oder Tiefpunkt. Beispielsweise gilt für $f(x)=x^3$ zwar $f'(0)=0$, doch bei $x=0$ liegt kein Extrempunkt vor.
Für einen Hoch- oder Tiefpunkt kannst du nach $f'(x_E)=0$ zusätzlich prüfen:
- $f''(x_E)<0$: Hochpunkt,
- $f''(x_E)>0$: Tiefpunkt,
- $f''(x_E)=0$: Diese Prüfung entscheidet nicht; dann musst du das Vorzeichen von $f'$ untersuchen.
Auch $f''(x_W)=0$ allein beweist keinen Wendepunkt. Die Krümmung muss an der Stelle tatsächlich wechseln. Bei den hier betrachteten Polynomen ist $f'''(x_W)\ne0$ eine hinreichende Prüfung, wenn zugleich $f''(x_W)=0$ gilt.
Ähnlich gilt an der x-Achse: $f(x_0)=0$ und $f'(x_0)=0$ sichern eine Nullstelle mit waagrechter Tangente, beweisen aber allein noch keine Berührung ohne Achsenwechsel. Bei einem Polynom kannst du das Vorzeichen von $f$ links und rechts von $x_0$ prüfen: Wechselt es, schneidet der Graph die Achse; bleibt es gleich, berührt er sie.
Beim Aufstellen des Gleichungssystems nutzt du zunächst die Bedingungen aus dem Aufgabentext. Nach dem Lösen prüfst du zusätzlich, ob Bezeichnungen wie „Hochpunkt“, „Tiefpunkt“, „Wendepunkt“, „Schneiden“ oder „Berühren“ wirklich erfüllt sind.
Selbst üben und Fehler finden
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die durch den Ursprung geht, bei $x=1$ eine waagrechte Tangente hat und den Wendepunkt $W(2/3\mid2/27)$ besitzt.
Verwende den Ansatz
$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$
und stelle zuerst selbst die vier Bedingungen auf.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Der Ursprung liefert . Die waagrechte Tangente bei $x=1$ liefert . Die Punktlage von $W$ liefert . Die mögliche Wendestelle liefert .
Mit
$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$
und
$$f''(x)=6ax+2b$$
entsteht das Gleichungssystem
$$d=0,$$
$$3a+2b+c=0,$$
$$8a/27+4b/9+2c/3=2/27,$$
$$4a+2b=0.$$
Seine Lösung ist $a=1$, $b=-2$, $c=1$ und $d=0$. Damit lautet die Funktion
$$f(x)=x^3-2x^2+x.$$
Die Probe bestätigt alle vier Bedingungen. Außerdem ist $f'''(x)=6\ne0$; der angegebene Punkt ist tatsächlich ein Wendepunkt.
Ein häufiger Fehler wäre, für den Wendepunkt nur $f''(2/3)=0$ zu verwenden. Die Koordinaten des Punktes liefern zusätzlich $f(2/3)=2/27$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Steckbriefaufgabe lösen
- Ansatz wählen: Funktionsart, Symmetrie, Nullstellen
- Parameter zählen: genügend unabhängige Bedingungen sichern
- Angaben übersetzen: Punkte in $f$, Steigungen in $f'$, Krümmung in $f''$
- Gleichungssystem lösen: Parameter bestimmen
- Funktion angeben: Parameter in den Ansatz einsetzen
- Probe durchführen: alle Vorgaben und den Punktcharakter prüfen
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kernweg, wenn du jede Textangabe begründet einer Funktion oder Ableitung zuordnen, einen möglichst kurzen Ansatz wählen und anschließend jede Vorgabe durch Einsetzen kontrollieren kannst.