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Steigungswinkel berechnen: Formel und Beispiele
Der Steigungswinkel $\alpha$ beschreibt die Neigung einer Geraden oder einer Tangente gegenüber der $x$-Achse. Steigung und Winkel hängen durch $m=\tan(\alpha)$ zusammen. Ist die Steigung bekannt, berechnest du den Winkel mit dem Arkustangens: $\alpha=\arctan(m)$.
Auf dieser Seite lernst du den vollständigen Rechenweg für Geraden, Funktionsgraphen und Prozentsteigungen. Außerdem erfährst du, wie du negative Steigungen je nach geforderter Winkelkonvention behandelst.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum gehören Steigung und Winkel zusammen?
Stell dir an einer Geraden ein rechtwinkliges Steigungsdreieck vor. Seine waagerechte Seite hat die Länge $\Delta x$, seine senkrechte Seite die Länge $\Delta y$.
Die Steigung ist das Verhältnis der beiden Änderungen:
$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
Im rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Deshalb gilt:
$$\tan(\alpha)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=m$$
Steigungswinkel
Der Steigungswinkel $\alpha$ ist der Winkel zwischen einer Geraden und der $x$-Achse. Bei einem gekrümmten Funktionsgraphen betrachtet man an der gewünschten Stelle die Tangente.
Von Winkel zu Steigung: $m=\tan(\alpha)$. Von Steigung zu Winkel: $\alpha=\arctan(m)$.
Achte beim Rechnen darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß eingestellt ist. Der Arkustangens kann dort auch als $\tan^{-1}$ bezeichnet sein.
Wie berechnest du den Winkel einer Geraden?
Bei einer Geraden mit der Gleichung $f(x)=mx+b$ ist der Koeffizient vor $x$ die Steigung $m$. Der Achsenabschnitt $b$ beeinflusst den Steigungswinkel nicht.
Gehe in drei Schritten vor:
- Lies $m$ vor $x$ ab.
- Berechne zunächst $\alpha'=\arctan(m)$.
- Prüfe bei einer negativen Steigung, welche Winkelkonvention die Aufgabe verlangt.
Gegeben ist die Gerade $f(x)=5x+3$.
1. Steigung ablesen: Der Koeffizient vor $x$ ist $m=5$.
2. Arkustangens anwenden:
$$\alpha=\arctan(5)\approx78{,}7^\circ$$
3. Ergebnis prüfen: Die Steigung ist positiv. Ein Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ passt daher zu einer steigenden Geraden.
Der Steigungswinkel beträgt ungefähr $78{,}7^\circ$.
Kennst du statt des Funktionsterms zwei Punkte $P_1(x_1\mid y_1)$ und $P_2(x_2\mid y_2)$, bestimmst du zuerst die Steigung:
$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Danach verwendest du wieder den Arkustangens.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $f(x)=5x+3$ ist die Steigung $m=$. Der Achsenabschnitt ist $b=$. Deshalb wird der Winkel mit $\alpha=$ berechnet und beträgt ungefähr $$.
Wie findest du den Winkel an einem Funktionsgraphen?
Ein gekrümmter Graph kann an verschiedenen Stellen verschieden steil sein. An der Stelle $x_0$ beschreibt die Ableitung $f'(x_0)$ die Steigung der dortigen Tangente.
Der Rechenweg lautet:
$$f\longrightarrow f'\longrightarrow f'(x_0)=m\longrightarrow\arctan(m)=\alpha'$$
Gesucht ist der Steigungswinkel von $f(x)=x^3+1$ an der Stelle $x_0=1$.
1. Ableitung bilden:
$$f'(x)=3x^2$$
2. Stelle einsetzen:
$$m=f'(1)=3\cdot1^2=3$$
3. Winkel berechnen:
$$\alpha=\arctan(3)\approx71{,}6^\circ$$
Die Tangente an den Graphen hat bei $x_0=1$ also einen Steigungswinkel von ungefähr $71{,}6^\circ$.
Dieses Verfahren setzt voraus, dass die benötigte Ableitung an der betrachteten Stelle vorhanden ist. Du brauchst nur die Tangentensteigung $f'(x_0)$; die vollständige Tangentengleichung musst du nicht aufstellen.
Was passiert bei einer negativen Steigung?
Bei $m<0$ fällt die Gerade von links nach rechts. Der Arkustangens liefert dann zunächst einen negativen Winkel. Für diesen Fall sind zwei Darstellungen gebräuchlich, deshalb musst du auf die Aufgabenstellung achten.
- Gerichteter Winkel: Das negative Ergebnis bleibt stehen. Es zeigt die fallende Richtung an.
- Normierter Steigungswinkel: Wird $0^\circ\leq\alpha<180^\circ$ verlangt, addierst du zum negativen Ergebnis $180^\circ$.
Gegeben ist $f(x)=-4x+1$. Damit ist $m=-4$.
Zunächst berechnest du:
$$\alpha'=\arctan(-4)\approx-76{,}0^\circ$$
Als gerichteter Winkel kann das Ergebnis $-76{,}0^\circ$ lauten.
Für den Winkelbereich $0^\circ\leq\alpha<180^\circ$ rechnest du dagegen:
$$\alpha=\alpha'+180^\circ\approx-76{,}0^\circ+180^\circ=104{,}0^\circ$$
Beide Werte beschreiben dieselbe fallende Gerade, aber mit unterschiedlichen Winkelkonventionen.
Bei $m<0$ darfst du nicht automatisch bei einem negativen Taschenrechnerwert stehen bleiben. Prüfe zuerst, ob ein gerichteter Winkel oder ein Winkel zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$ verlangt ist.
Wie wird aus einer Prozentsteigung ein Winkel?
Eine Prozentsteigung vergleicht den Höhenunterschied mit der waagerechten Entfernung. Eine Steigung von $39\,\%$ bedeutet daher eine Dezimalsteigung von $0{,}39$.
Eine Straße hat eine Steigung von $39\,\%$.
1. Prozentwert umwandeln:
$$m=39\,\%=\frac{39}{100}=0{,}39$$
2. Winkel berechnen:
$$\alpha=\arctan(0{,}39)\approx21{,}3^\circ$$
Der Steigungswinkel der Straße beträgt ungefähr $21{,}3^\circ$.
Eine Prozentsteigung ist nicht dieselbe Zahl wie der Winkel in Grad. Wandle den Prozentwert zuerst in eine Dezimalzahl um und verwende dann den Arkustangens.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Steigungswinkel berechnen
- Steigung bestimmen
- Gerade: $m$ ablesen oder aus zwei Punkten berechnen
- Funktionsgraph: $m=f'(x_0)$
- Prozentangabe: durch $100$ teilen
- Winkel berechnen
- Grundbeziehung: $m=\tan(\alpha)$
- Umkehrung: $\alpha'=\arctan(m)$
- Ergebnis prüfen
- Positives $m$: steigende Gerade
- Negatives $m$: Winkelkonvention beachten
- Einheit: Winkel in Grad
- Steigung bestimmen
Abschluss-Check
Prüfe deinen Rechenweg zum Schluss mit drei Fragen: Hast du die richtige Steigung bestimmt? Hast du den Arkustangens im Gradmaß verwendet? Passt Vorzeichen und Winkelbereich zur verlangten Konvention?