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Eine Steigung kann als Zahl oder als Winkel beschrieben werden. Der Steigungswinkel sagt dir, wie stark eine Gerade gegen die x-Achse geneigt ist.
- Ich kann Steigung und Steigungswinkel unterscheiden.
- Ich kann aus einer Steigung den Winkel berechnen.
- Ich kann Vorzeichen und Einheiten richtig deuten.
- Ich kann typische Fehler erkennen und mein Ergebnis prüfen.
Grundidee
Die Steigung \(m\) beschreibt Höhenänderung pro Schritt nach rechts. Der Steigungswinkel \(\alpha\) ist der Winkel zwischen Gerade und positiver x-Achse.
Steigungswinkel
Für eine Gerade mit Steigung \(m\) gilt \(m=\tan(\alpha)\). Daher ist \(\alpha=\arctan(m)\), wenn der Winkel zur positiven x-Achse gemeint ist.
Bei \(m=1\) ist \(\alpha=45^\circ\), denn \(\tan(45^\circ)=1\).
Positive Steigung steigt nach rechts, negative Steigung fällt nach rechts.
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Vorgehen Schritt für Schritt
Bestimme zuerst die Steigung. Dann nutzt du Tangens rückwärts. Der Taschenrechner muss im richtigen Winkelmodus stehen.
Eine Rampe steigt 3 m auf 12 m waagerechte Strecke. \(m=3/12=0{,}25\). Also \(\alpha=\arctan(0{,}25)\approx14{,}0^\circ\).
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Typische Fehler und Prüfungsmodus
Bei Prozentsteigung ist 100 Prozent Steigung nicht \(100^\circ\), sondern \(m=1\) und damit \(45^\circ\).
Eine Steigung von 12 Prozent bedeutet \(m=0{,}12\). Der Winkel ist \(\arctan(0{,}12)\approx6{,}84^\circ\).
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Der Steigungswinkel übersetzt eine Steigung in einen Winkel. Entscheidend ist das Steigungsdreieck: Steigung ist Tangens des Winkels.