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Strahl und Halbgerade einfach erklärt
Ein Strahl, auch Halbgerade genannt, beginnt an genau einem Punkt und verläuft von dort geradlinig in eine Richtung unendlich weiter. Ein zweiter Punkt legt seine Richtung fest.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du einen Strahl?
Stell dir vor, eine gerade Linie beginnt bei einem Punkt und wird in nur einer Richtung immer weiter verlängert. Genau dieses geometrische Objekt heißt Strahl oder Halbgerade.
Strahl oder Halbgerade
Ein Strahl ist eine gerade Linie mit genau einem Anfangspunkt und ohne Endpunkt. Vom Anfangspunkt aus verläuft er in einer festgelegten Richtung unendlich weiter.
Der Strahl mit Anfangspunkt $A$ in Richtung des Punktes $B$:
- enthält den Anfangspunkt $A$;
- verläuft durch $B$;
- setzt sich über $B$ hinaus fort;
- besitzt keine messbare Gesamtlänge.
Die Bezeichnungen $[AB)$ und $\overrightarrow{AB}$ können für diesen Strahl verwendet werden. In beiden Fällen steht $A$ zuerst, weil $A$ der Anfangspunkt ist.
Ein Anfangspunkt, kein Endpunkt: Daran erkennst du einen Strahl.
Wie bestimmst und zeichnest du einen Strahl?
Für einen eindeutigen Strahl brauchst du zwei verschiedene Punkte:
- Der erste Punkt ist der Anfangspunkt.
- Der zweite Punkt legt die Richtung fest.
- Du zeichnest eine gerade Linie vom Anfangspunkt durch den zweiten Punkt.
- Du verlängerst die Linie über den zweiten Punkt hinaus.
Du sollst den Strahl $[AB)$ zeichnen.
- Markiere den Anfangspunkt $A$.
- Markiere einen zweiten Punkt $B$.
- Verbinde $A$ und $B$ geradlinig.
- Verlängere die Linie über $B$ hinaus.
Der gezeichnete Ausschnitt endet auf dem Papier. Der mathematische Strahl endet dort jedoch nicht, sondern setzt sich theoretisch unendlich fort.
Ein Lichtstrahl oder ein Zahlenstrahl kann dir als Vorstellung helfen. Das Alltagsbild veranschaulicht die Richtung; die mathematische Definition bleibt eine gerade Linie mit einem Anfangspunkt.
Wie unterscheiden sich Strecke, Strahl und Gerade?
Alle drei Objekte verlaufen geradlinig. Der entscheidende Unterschied ist die Anzahl ihrer Begrenzungspunkte.
| Objekt | Begrenzungspunkte | Ausdehnung | Gesamtlänge messbar? |
|---|---|---|---|
| Strecke | 2 | zwischen Anfangs- und Endpunkt | ja |
| Strahl oder Halbgerade | 1 | in einer Richtung unendlich | nein |
| Gerade | 0 | in beiden Richtungen unendlich | nein |
Eine Strecke zwischen $A$ und $B$ ist die kürzeste Verbindung dieser beiden Punkte. Sie endet an beiden Punkten. Ihre Länge kann beispielsweise $|AB|=3\,\mathrm{cm}$ betragen.
Ein Strahl kann entstehen, wenn du eine Strecke über einen ihrer Endpunkte hinaus unbegrenzt verlängerst.
Eine Gerade besitzt weder Anfangs- noch Endpunkt. Punkte auf ihr legen ihre Lage fest, begrenzen sie aber nicht.
Zähle die Begrenzungspunkte: Strecke 2 – Strahl 1 – Gerade 0.
Warum ist die Reihenfolge der Punkte wichtig?
Beim Strahl $[AB)$ ist $A$ der Anfangspunkt. Der Strahl verläuft von $A$ durch $B$ und über $B$ hinaus.
Beim Strahl $[BA)$ ist dagegen $B$ der Anfangspunkt. Er verläuft von $B$ durch $A$ und über $A$ hinaus. Deshalb sind $[AB)$ und $[BA)$ nicht derselbe Strahl.
Bei der Strecke zwischen $A$ und $B$ ist die Reihenfolge dagegen gleichgültig: Die Strecke $AB$ verbindet dieselben beiden Endpunkte wie die Strecke $BA$.
Liegen $A$, $B$ und $C$ in dieser Reihenfolge auf einer geraden Linie, dann gehört $C$ zum Strahl $[AB)$: Du erreichst von $A$ aus zuerst $B$ und danach $C$.
Zum Strahl $[BA)$ gehört ein Punkt, der von $B$ aus in Richtung $A$ und über $A$ hinaus liegt. Die vertauschten Buchstaben ändern also Anfangspunkt und Richtung.
Vertiefung: Wie beschreibt eine Gleichung den Strahl?
In einem Koordinatensystem lässt sich ein Strahl mit einer Parameterform beschreiben. Ein Parameter ist eine veränderliche Zahl, die verschiedene Punkte des Strahls erzeugt.
Für den Strahl mit Anfangspunkt $A$ und Richtung durch $B$ gilt:
$$\vec{x}=\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a}),\qquad \lambda\ge 0$$
Dabei ist $\vec{a}$ der Ortsvektor von $A$. Der Vektor $\vec{b}-\vec{a}$ zeigt von $A$ nach $B$.
Gegeben sind $A(1|2)$ und $B(3|2)$. Der Richtungsvektor von $A$ nach $B$ ist $(2|0)$. Damit lautet die Parameterform:
$$(x|y)=(1|2)+\lambda(2|0),\qquad \lambda\ge 0$$
- Für $\lambda=0$ entsteht $A(1|2)$.
- Für $\lambda=1$ entsteht $B(3|2)$.
- Für $\lambda=2$ entsteht der Punkt $(5|2)$ hinter $B$.
Der Parameter darf nicht negativ sein, weil negative Werte von $A$ aus in die entgegengesetzte Richtung führen würden.
Die Bedingung $\lambda\ge 0$ schließt den Anfangspunkt ein. Bei einer offenen Halbgeraden ist der Anfangspunkt ausgeschlossen; dann gilt $\lambda>0$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Strahl oder Halbgerade
- besitzt genau einen Anfangspunkt
- verläuft geradlinig in eine Richtung unendlich weiter
- wird durch Anfangspunkt und Richtung bestimmt
- unterscheidet sich von der Strecke mit zwei Endpunkten
- unterscheidet sich von der Geraden ohne Endpunkte
- kann mit $[AB)$ oder $\overrightarrow{AB}$ bezeichnet werden
Abschluss-Check
Du kannst einen Strahl sicher bestimmen, wenn du zuerst seinen Anfangspunkt und danach seine Richtung suchst. Mit der Merkfolge 2 – 1 – 0 grenzt du Strecke, Strahl und Gerade schnell voneinander ab.