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Summe verstehen: Summanden richtig addieren
Eine Summe ist ein Additionsterm oder das Ergebnis einer Addition. In $2+3=5$ sind $2$ und $3$ die Summanden; $2+3$ und der Wert $5$ werden als Summe bezeichnet.
Auf dieser Seite lernst du, Summen zu erkennen, geschickt zu berechnen und mit dem Summenzeichen aufzuschreiben.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was ist eine Summe?
Summe
Eine Summe ist ein Term, dessen Teile durch Pluszeichen verbunden sind. Auch der Wert dieses Terms heißt Summe.
In der Addition
$$4+2=6$$
heißen $4$ und $2$ Summanden. Die Rechnung $4+2$ ist ein Additionsterm; ihr Wert $6$ ist das Ergebnis.
In $8+5=13$ gilt:
- erster Summand: $8$
- zweiter Summand: $5$
- Summe als Term: $8+5$
- Summe als Wert: $13$
Du kannst $8+5$ über den Zehner rechnen: Zerlege $5$ in $2+3$. Dann ist $8+2=10$ und $10+3=13$.
Summand + Summand = Summe. Das Wort „Summe“ kann den Additionsterm oder seinen Wert meinen. Der Zusammenhang macht deutlich, was gemeint ist.
Wie addierst du mehrere Summanden?
Eine Summe kann aus mehr als zwei Summanden bestehen. Du addierst schrittweise, bis alle Summanden berücksichtigt sind.
Berechne $4+7+1$:
- Addiere zuerst $4+7=11$.
- Addiere danach den dritten Summanden: $11+1=12$.
Also gilt:
$$4+7+1=12$$
Bei einer reinen Addition darfst du anders klammern:
$$(4+7)+1=4+(7+1)=12$$
Diese Eigenschaft heißt Assoziativgesetz. Es besagt: Die Gruppierung der Summanden ändert den Wert nicht.
Du darfst die Summanden außerdem vertauschen:
$$4+7+1=7+4+1$$
Diese Eigenschaft heißt Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz.
Die beiden Gesetze gelten hier für reine Additionen. Bei Rechnungen mit anderen Rechenarten darfst du Klammern und Reihenfolge nicht ohne Prüfung verändern.
Wie rechnest du Summen geschickt?
Suche nach Summanden, die sich leicht ergänzen. Besonders hilfreich sind Paare, die zusammen $10$, $100$ oder eine andere glatte Zahl ergeben.
Berechne $18+7+2+3$ geschickt:
- Ordne um: $18+2+7+3$.
- Gruppiere: $(18+2)+(7+3)$.
- Rechne: $20+10=30$.
Das Ordnen ändert den Wert nicht, verkürzt aber den Rechenweg.
Wird dieselbe Zahl mehrfach addiert, kannst du ein Produkt schreiben:
$$a+a+a=3\cdot a$$
Zum Beispiel:
$$5+5+5+5=4\cdot5=20$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
In $6+9=15$ heißen $6$ und $9$ . Der Wert $15$ ist die . Die Rechnung $4+4+4$ lässt sich als schreiben.
Vertiefung: Was bedeutet das Summenzeichen?
Bei langen Additionen spart das große griechische Sigma $\sum$ viel Schreibarbeit. Es heißt Summenzeichen.
Summenzeichen
In $\sum_{k=m}^{n}a_k$ ist $k$ der Laufindex. Er nimmt nacheinander alle ganzen Zahlen von der unteren Grenze $m$ bis zur oberen Grenze $n$ an. Für jeden Wert setzt du $k$ in den Summanden $a_k$ ein.
So wertest du eine Sigma-Summe aus:
- Lies die untere und obere Grenze ab.
- Setze jeden vorgesehenen Indexwert in den Summanden ein.
- Addiere die entstehenden Werte.
Berechne
$$\sum_{k=1}^{4}4k$$
Der Laufindex $k$ nimmt die Werte $1,2,3,4$ an:
- für $k=1$: $4\cdot1=4$
- für $k=2$: $4\cdot2=8$
- für $k=3$: $4\cdot3=12$
- für $k=4$: $4\cdot4=16$
Damit gilt:
$$\sum_{k=1}^{4}4k=4+8+12+16=40$$
Ist der Summand eine feste Zahl $c$, wird sie so oft addiert, wie der Indexbereich Werte enthält. Von $m$ bis $n$ sind es bei $n\ge m$ genau $n-m+1$ Werte:
$$\sum_{k=m}^{n}c=(n-m+1)c$$
Bei gleichen Grenzen enthält die Summe genau ein Glied:
$$\sum_{k=m}^{m}a_k=a_m$$
Welche Fehler solltest du vermeiden?
Summen lassen sich bei Addition und konstanten Faktoren nach festen Regeln umformen:
$$\sum_{k=m}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=m}^{n}a_k+\sum_{k=m}^{n}b_k$$
$$\sum_{k=m}^{n}c\,a_k=c\sum_{k=m}^{n}a_k$$
Ein Produkt im Summanden darfst du dagegen im Allgemeinen nicht in ein Produkt zweier Summen verwandeln.
Für zwei Indexwerte enthält
$$\sum_{i=1}^{2}x_i y_i$$
nur die beiden Produkte
$$x_1y_1+x_2y_2.$$
Das Produkt
$$(x_1+x_2)(y_1+y_2)$$
enthält zusätzlich die Kreuzprodukte $x_1y_2$ und $x_2y_1$. Deshalb sind die Ausdrücke im Allgemeinen nicht gleich.
Auch eine Potenz darfst du nicht einfach über eine Summe verteilen:
$$x_1^2+x_2^2\ne(x_1+x_2)^2$$
Denn rechts entsteht zusätzlich der Term $2x_1x_2$.
Addition und konstante Faktoren folgen den Summenregeln. Bei Produkten und Potenzen musst du den Ausdruck vollständig ausmultiplizieren oder jeden Summanden einzeln berechnen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Summe
- Grundbegriffe
- Summanden werden addiert
- Summe bezeichnet Term oder Wert
- Geschicktes Rechnen
- Summanden vertauschen
- Summanden neu gruppieren
- gleiche Summanden als Produkt schreiben
- Summenzeichen
- Laufindex und Grenzen lesen
- Werte einsetzen und addieren
- Rechenregeln
- konstante Faktoren ausklammern
- Addition gliedweise trennen
- Produkte und Potenzen prüfen
- Grundbegriffe
Abschluss-Check
Wenn du alle vier Aufgaben begründen kannst, beherrschst du die Grundbegriffe, das geschickte Addieren und die einfache Sigma-Schreibweise.