Summenzeichen verstehen und sicher berechnen

Betrachte die Summe

$$\sum_{k=1}^{3}x_k=x_1+x_2+x_3.$$

Das große griechische Sigma $\sum$ bedeutet: Addiere die angegebenen Summanden.

Du kannst die Formel so lesen: „Summe der Werte $x_k$ für $k$ von 1 bis 3.“ Der tiefgestellte Index bezeichnet dabei die jeweilige Position: $x_1$, $x_2$ und $x_3$.

Der Buchstabe des Laufindex ist austauschbar, wenn du ihn innerhalb der Summe konsequent verwendest:

$$\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{k=1}^{n}x_k.$$

Eine Schreibweise wie $\sum_i x_i$ ist nur eindeutig, wenn der Summationsbereich bereits aus dem Zusammenhang hervorgeht.

Gehe bei einer endlichen Summe immer in drei Schritten vor:

1. Lies die untere und die obere Grenze ab.
2. Setze jeden ganzzahligen Indexwert in den Summanden ein.
3. Addiere die erhaltenen Werte.

Bei allgemeinen Grenzen $m$ und $n$ mit $m\le n$ gibt es $n-m+1$ Indexwerte. Die Summe $\sum_{k=7}^{9}k^2$ enthält daher $9-7+1=3$ Summanden:

$$7^2+8^2+9^2=49+64+81=194.$$

Viele Summen lassen sich vor dem Ausrechnen vereinfachen. Entscheidend ist, dass die Umformung zur Addition passt.

Einen konstanten Faktor herausziehen

Ist $a$ unabhängig vom Laufindex, gilt

$$\sum_{i=1}^{n}a x_i=a\sum_{i=1}^{n}x_i.$$

Denn jeder Summand enthält denselben Faktor $a$.

Addition und Subtraktion aufteilen

Für zwei gleich indizierte Folgen gilt

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i+y_i)=\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}y_i.$$

Entsprechend darfst du eine Differenz in zwei Summen zerlegen. Klammern helfen dabei, Minuszeichen korrekt zu behandeln.

Einen konstanten Summanden zählen

Wird die Zahl $c$ für $i=1$ bis $n$ addiert, erscheint sie genau $n$-mal:

$$\sum_{i=1}^{n}c=nc.$$

Bei allgemeinen Grenzen $m\le n$ lautet die Regel

$$\sum_{i=m}^{n}c=(n-m+1)c.$$

Sind untere und obere Grenze gleich, gibt es genau einen Summanden:

$$\sum_{k=m}^{m}a_k=a_m.$$

Liegt die obere Grenze unter der unteren, enthält die Indexmenge keinen Wert. Diese leere Summe wird als 0 definiert.

Allgemein ist eine Summe von Produkten nicht das Produkt zweier Summen:

$$\sum_{i=1}^{n}x_i y_i\ne\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_i\right).$$

Beim Produkt der beiden Summen wird jedes $x_i$ mit jedem $y_j$ kombiniert. Deshalb entstehen zusätzliche Produkte.

Auch die Summe der Quadrate unterscheidet sich vom Quadrat der Summe. Für zwei Werte gilt:

$$x_1^2+x_2^2\ne(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2.$$

Das Quadrat der Summe enthält zusätzlich das Kreuzprodukt $2x_1x_2$.

Für die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen gilt die Gaußsche Summenformel:

$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Eine Doppelsumme enthält zwei Laufindizes. Du berechnest zuerst die innere und danach die äußere Summe:

$$\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}(i+j).$$

Für $i=1$ ergibt die innere Summe $2+3+4=9$. Für $i=2$ ergibt sie $3+4+5=12$. Insgesamt ist die Doppelsumme $9+12=21$.

Bei endlichen Doppelsummen darf die Summationsreihenfolge vertauscht werden. Bei unendlichen Reihen ist das nicht ohne zusätzliche Bedingungen erlaubt. Eine unendliche Reihe ist deshalb nicht bloß eine besonders lange endliche Summe; ihr Wert wird über den Grenzwert ihrer Partialsummen bestimmt, sofern dieser Grenzwert existiert.

Du beherrschst das Summenzeichen, wenn du zuerst den Indexbereich bestimmst, jeden Summanden korrekt bildest und vor jeder Umformung prüfst, ob wirklich eine Additionsregel vorliegt.