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Symmetrie erkennen: Achse, Punkt und Drehung
Eine Figur ist in den hier behandelten Fällen symmetrisch, wenn sie durch Spiegeln oder durch eine Drehung um weniger als $360^\circ$ wieder genau auf sich selbst passt. Je nach Bewegung unterscheidest du Achsen-, Punkt- und Drehsymmetrie.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was Symmetrie bedeutet
Zwei Figuren sind deckungsgleich, wenn sie beim Übereinanderlegen genau zusammenpassen. Bei einer symmetrischen Figur führt eine bestimmte Bewegung wieder zur Deckung mit der Ausgangsfigur.
Symmetrie
Bei den hier behandelten Symmetriearten bildet eine passende Spiegelung oder eine Drehung um weniger als $360^\circ$ eine Figur unverändert auf sich selbst ab.
Eine Figur kann mehrere Symmetriearten gleichzeitig besitzen. Ein Quadrat hat zum Beispiel mehrere Symmetrieachsen und passt nach bestimmten Drehungen wieder auf sich selbst.
Asymmetrisch heißt eine Figur bezogen auf die hier behandelten Bewegungen, wenn weder eine passende Spiegelung noch eine Drehung um einen Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ zur Deckung führt.
Achsensymmetrie durch Spiegeln prüfen
Bei der Achsensymmetrie wird eine Figur an einer Geraden gespiegelt. Diese Gerade heißt Symmetrieachse oder Spiegelachse.
Achsensymmetrie
Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie durch Spiegelung an einer Achse genau auf sich selbst abgebildet wird. Entsprechende Punkte liegen auf verschiedenen Seiten der Achse und haben denselben senkrechten Abstand zu ihr.
Du kannst Achsensymmetrie auf zwei einfache Arten prüfen:
- Faltprobe: Falte die Figur an der vermuteten Achse. Beide Hälften müssen vollständig übereinanderliegen.
- Spiegelprobe: Stelle einen Spiegel auf die vermutete Achse. Spiegelbild und verdeckte Figurenhälfte müssen zusammen die ursprüngliche Figur ergeben.
Du ergänzt eine halbe Figur auf Karopapier. Ein Eckpunkt liegt drei Kästchen links von der senkrechten Spiegelachse. Sein Bildpunkt muss auf derselben Höhe drei Kästchen rechts von der Achse liegen. Übertrage zuerst alle Eckpunkte und verbinde sie anschließend in derselben Reihenfolge.
Beim Spiegeln bleiben die senkrechten Abstände zur Achse gleich. Nur die Seite der Achse wechselt.
Punkt- und Drehsymmetrie unterscheiden
Bei der Drehsymmetrie wird eine Figur um einen festen Drehpunkt gedreht. Sie ist drehsymmetrisch, wenn sie bei einem Winkel kleiner als einer vollen Drehung wieder deckungsgleich erscheint.
Ein Quadrat passt zum Beispiel nach einer Vierteldrehung um $90^\circ$ wieder auf sich selbst. Auch Drehungen um $180^\circ$ und $270^\circ$ führen zur Deckung.
Punktsymmetrie
Eine Figur ist punktsymmetrisch zu einem Punkt, wenn eine Drehung um $180^\circ$ um diesen Punkt die Figur auf sich selbst abbildet. Punktsymmetrie ist damit ein besonderer Fall der Drehsymmetrie.
Bei einer Punktspiegelung liegen ein Ausgangspunkt, das Symmetriezentrum und der zugehörige Bildpunkt auf einer Geraden. Ausgangspunkt und Bildpunkt haben denselben Abstand zum Zentrum.
Beim Rechteck ist der Schnittpunkt der beiden Symmetrieachsen zugleich das Symmetriezentrum. Nach einer Drehung um $180^\circ$ landet jede Ecke auf der gegenüberliegenden Ecke. Das Rechteck stimmt wieder mit sich selbst überein.
Bekannte Formen vergleichen
Die Anzahl der Symmetrieachsen hängt von der Form ab:
- Ein Quadrat hat vier Symmetrieachsen: zwei Mittellinien und zwei Diagonalen. Es ist außerdem dreh- und punktsymmetrisch.
- Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, hat zwei Symmetrieachsen. Nach einer Drehung um $180^\circ$ ist es wieder deckungsgleich.
- Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Symmetrieachse.
- Ein gleichseitiges Dreieck hat drei Symmetrieachsen und ist drehsymmetrisch.
- Ein Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen, weil jede Gerade durch seinen Mittelpunkt eine mögliche Spiegelachse ist.
Zähle nicht nur sichtbare Hälften. Prüfe jede vermutete Achse durch Spiegeln oder Falten und jede vermutete Drehsymmetrie durch eine passende Drehung.
Vertiefung: Symmetrie von Funktionsgraphen
Auch ein Funktionsgraph kann symmetrisch sein. Für die hier betrachteten Symmetrien ersetzt du in der Funktionsgleichung $x$ durch $-x$.
- Gilt $f(-x)=f(x)$, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Gilt $f(-x)=-f(x)$, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
Für $f(x)=x^2$ gilt:
$$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$$
Der Graph ist deshalb achsensymmetrisch zur y-Achse.
Für $g(x)=x^3-2x$ gilt:
$$g(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x=-g(x)$$
Der Graph ist deshalb punktsymmetrisch zum Ursprung.
Bei einem vereinfachten Polynom kannst du auch die Exponenten untersuchen:
- Nur gerade Exponenten, einschließlich $0$: Symmetrie zur y-Achse.
- Nur ungerade Exponenten: Punktsymmetrie zum Ursprung.
- Gerade und ungerade Exponenten gemischt: keine dieser beiden einfachen Symmetrien.
Ein konstanter Term $c$ lässt sich als $c x^0$ schreiben. Der Exponent $0$ ist gerade. Bei einem Term wie $3x$ ist der nicht ausgeschriebene Exponent $1$ und damit ungerade.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Symmetrie
- Achsensymmetrie
- Spiegelung an einer Achse
- gleiche Abstände zur Achse
- Drehsymmetrie
- Drehung um einen festen Punkt
- Deckung bei einem Winkel unter $360^\circ$
- Punktsymmetrie
- besondere Drehsymmetrie um $180^\circ$
- gleiche Abstände zum Zentrum
- Funktionsgraphen
- $f(-x)=f(x)$ zur y-Achse
- $f(-x)=-f(x)$ zum Ursprung
- Achsensymmetrie