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Manche Figuren sehen nach einer halben Drehung wieder genau gleich aus. Diese Eigenschaft heißt Punktsymmetrie und hilft dir, Figuren und Funktionsgraphen schnell zu erkennen.
- Ich kann Punktsymmetrie erklären.
- Ich kann das Symmetriezentrum finden.
- Ich kann Punkte an einem Zentrum spiegeln.
- Ich kann Punktsymmetrie von Achsensymmetrie unterscheiden.
Halbe Drehung als Grundidee
Punktsymmetrie bedeutet: Wenn du eine Figur um 180 Grad um einen Punkt drehst, liegt sie wieder auf sich selbst. Dieser Punkt ist das Symmetriezentrum.
Punktsymmetrie
Eine Figur ist punktsymmetrisch zu einem Punkt \(Z\), wenn jeder Punkt \(P\) einen Bildpunkt \(P'\) hat und \(Z\) genau die Mitte der Strecke \(PP'\) ist.
Der Punkt \(P(2|3)\) wird am Ursprung \(Z(0|0)\) gespiegelt.
Der Bildpunkt ist \(P'(-2|-3)\), weil beide Koordinaten ihr Vorzeichen wechseln. Der Ursprung liegt genau in der Mitte.
Bei Punktsymmetrie ist das Zentrum immer die Mitte zwischen Originalpunkt und Bildpunkt.
Punkte spiegeln
Um einen Punkt an \(Z\) zu spiegeln, gehst du vom Punkt zum Zentrum und dann gleich weit weiter in dieselbe Richtung.
Spiegele \(P(1|4)\) an \(Z(3|2)\).
- Von \(P\) zu \(Z\): 2 nach rechts und 2 nach unten.
- Vom Zentrum noch einmal 2 nach rechts und 2 nach unten.
- Bildpunkt: \(P'(5|0)\).
- Kontrolle: Der Mittelpunkt von \(P(1|4)\) und \(P'(5|0)\) ist \((3|2)\).
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Abgrenzung zur Achsensymmetrie
Achsensymmetrie spiegelt an einer Geraden. Punktsymmetrie spiegelt an einem Punkt. Das Ergebnis kann ähnlich wirken, aber die Begründung ist verschieden.
Ein Rechteck ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen. Es ist außerdem achsensymmetrisch zu seinen Mittellinien, wenn es nicht schief liegt. Ein allgemeines Parallelogramm ist punktsymmetrisch, aber meistens nicht achsensymmetrisch.
Bei Funktionsgraphen ist Punktsymmetrie zum Ursprung typisch für Funktionen wie \(f(x)=x^3\). Dann gilt: Zu \((x|y)\) gehört \((-x|-y)\).
Prüfungsmodus
Prüfe nicht nur „sieht ähnlich aus“. Suche zu markanten Punkten die Gegenpunkte und kontrolliere, ob immer dasselbe Zentrum in der Mitte liegt.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Punktsymmetrie bedeutet Symmetrie zu einem Zentrum. Jeder Punkt hat einen Bildpunkt auf der gegenüberliegenden Seite, und das Zentrum liegt genau in der Mitte. Eine halbe Drehung ist das beste innere Bild dafür.