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Punktsymmetrie erkennen, prüfen und konstruieren
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um 180° um einen festen Punkt wieder genauso aussieht. Dieser Punkt heißt Symmetriezentrum.
Du lernst, Punktsymmetrie zu erkennen, das Zentrum zu prüfen und Bildpunkte zu konstruieren. In einer Vertiefung untersuchst du auch Funktionsgraphen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du Punktsymmetrie?
Punktsymmetrie
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn eine Drehung um 180° um ihr Symmetriezentrum die Figur auf sich selbst abbildet. Ausgangsfigur und gedrehte Figur sind dann deckungsgleich.
Rechteck, Quadrat, Raute und Parallelogramm sind punktsymmetrisch. Ihr Symmetriezentrum liegt im Schnittpunkt der Diagonalen. Ein Kreis ist zu seinem Mittelpunkt punktsymmetrisch. Ein Dreieck ist nicht punktsymmetrisch.
Punktsymmetrie und Achsensymmetrie sind nicht dasselbe:
- Bei der Punktsymmetrie drehst du um einen Punkt.
- Bei der Achsensymmetrie spiegelst du an einer Geraden.
- Eine Figur kann beide Symmetriearten besitzen. Das gilt beispielsweise für ein Quadrat.
Halbe Drehung um einen Punkt: Punktsymmetrie. Spiegelung an einer Geraden: Achsensymmetrie.
Wie findest du das Symmetriezentrum?
Zu jedem Punkt $A$ einer punktsymmetrischen Figur gehört ein Bildpunkt $A'$. Für das Symmetriezentrum $S$ gelten zwei Bedingungen:
- $A$, $S$ und $A'$ liegen auf einer Geraden.
- $A$ und $A'$ haben denselben Abstand von $S$.
Damit ist $S$ der Mittelpunkt der Strecke zwischen $A$ und $A'$.
Bei einem Parallelogramm verbindest du gegenüberliegende Ecken. Die beiden Diagonalen schneiden sich in $S$ und werden dort halbiert. Eine Drehung um 180° vertauscht jeweils gegenüberliegende Ecken. Deshalb ist $S$ das Symmetriezentrum.
Ein einziges passendes Punktepaar beweist die Punktsymmetrie einer ganzen Figur noch nicht. Du musst prüfen, ob die Bedingung für alle charakteristischen Punkte gilt. Bei einem Vieleck untersuchst du dazu insbesondere seine Ecken.
Wie konstruierst du eine Punktspiegelung?
Bei einer Punktspiegelung bildest du jeden Punkt auf die gegenüberliegende Seite des Zentrums ab. Das Zentrum bleibt dabei der Mittelpunkt zwischen Ausgangs- und Bildpunkt.
Für einen Punkt $A$ und das Zentrum $S$ gehst du so vor:
- Zeichne eine Gerade durch $A$ und $S$.
- Miss den Abstand zwischen $A$ und $S$.
- Übertrage denselben Abstand von $S$ aus auf die gegenüberliegende Seite.
- Markiere dort den Bildpunkt $A'$.
- Wiederhole das für alle charakteristischen Punkte und verbinde die Bildpunkte in der passenden Reihenfolge.
Liegt $A$ 3 cm links von $S$, dann liegt $A'$ auf derselben Geraden 3 cm rechts von $S$. Somit ist $S$ der Mittelpunkt der Strecke zwischen $A$ und $A'$.
Bei einer Punktspiegelung bleiben Form und Größe erhalten. Die Figur wird um 180° um das Zentrum gedreht.
Wie spiegelst du Punkte am Ursprung?
Im Koordinatensystem ist der Ursprung $O(0|0)$ ein besonders einfaches Spiegelzentrum. Bei der Punktspiegelung wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen:
$$A(x|y) \rightarrow A'(-x|-y)$$
Das Viereck besitzt die Punkte $A(1|0)$, $B(2|3)$, $C(3|-1)$ und $D(-1|-1)$. Bei der Spiegelung am Ursprung entstehen:
- $A'(-1|0)$
- $B'(-2|-3)$
- $C'(-3|1)$
- $D'(1|1)$
Für $B(2|3)$ bedeutet das: 2 Einheiten rechts werden zu 2 Einheiten links, und 3 Einheiten oben werden zu 3 Einheiten unten. Daher ist $B'(-2|-3)$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei der Spiegelung am Ursprung wird aus $P(4|-2)$ der Punkt $P'(|)$. Das Zentrum liegt jeweils in der zwischen Ausgangs- und Bildpunkt.
Vertiefung: Wie prüfst du Funktionsgraphen?
Ein Funktionsgraph ist zum Ursprung punktsymmetrisch, wenn für alle zulässigen Werte von $x$ gilt:
$$f(-x)=-f(x)$$
So prüfst du die Bedingung:
- Ersetze in $f(x)$ jedes $x$ durch $-x$ und vereinfache.
- Setze ein Minus vor den gesamten Funktionsterm und vereinfache.
- Vergleiche $f(-x)$ mit $-f(x)$.
Gegeben ist $f(x)=x^3-2x$.
Zuerst setzt du $-x$ ein:
$$f(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x$$
Dann bildest du das Negative des gesamten Terms:
$$-f(x)=-(x^3-2x)=-x^3+2x$$
Beide Terme stimmen überein. Der Graph ist daher punktsymmetrisch zum Ursprung.
Bei einem ganzrationalen Funktionsterm kannst du häufig schneller entscheiden: Kommen nur ungerade Potenzen von $x$ und kein konstantes Glied vor, ist der Graph zum Ursprung punktsymmetrisch. Eine gerade Potenz oder eine Konstante erfüllt dieses Schnellkriterium nicht.
Das Schnellkriterium ersetzt bei anderen Funktionsarten keine Prüfung. Die Gleichung $f(-x)=-f(x)$ muss für alle zulässigen Werte gelten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Punktsymmetrie
- Erkennen: halbe Drehung ergibt Deckungsgleichheit
- Zentrum: halbiert jede Punkt-Bildpunkt-Strecke
- Konstruieren: Abstand auf die Gegenseite übertragen
- Koordinaten: am Ursprung beide Vorzeichen wechseln
- Abgrenzen: Achsensymmetrie nutzt eine Spiegelgerade
- Funktionen: $f(-x)$ mit $-f(x)$ vergleichen