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Punktspiegelung einfach konstruieren und prüfen
Bei einer Punktspiegelung liegt der Bildpunkt auf der gegenüberliegenden Seite des Spiegelpunkts – auf derselben Geraden und im gleichen Abstand. So kannst du einzelne Punkte und ganze Figuren spiegeln und deine Konstruktion selbst prüfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du den Bildpunkt?
Der feste Punkt, an dem gespiegelt wird, heißt Spiegelpunkt oder Spiegelzentrum. Wir bezeichnen ihn hier mit $S$.
Bildpunkt
Der Bildpunkt $P'$ gehört zum Originalpunkt $P$. Die drei Punkte $P$, $S$ und $P'$ liegen auf einer Geraden. Dabei liegt $S$ zwischen $P$ und $P'$, und beide Punkte haben denselben Abstand zu $S$.
Diese Bedingungen gehören zusammen:
- $P$, $S$ und $P'$ liegen auf einer Geraden.
- Der Spiegelpunkt $S$ liegt zwischen $P$ und $P'$.
- Die Abstände $SP$ und $SP'$ sind gleich groß.
Das Apostroph in $P'$ wird „P Strich“ gesprochen. Es kennzeichnet den Bildpunkt.
Der Spiegelpunkt ist der Mittelpunkt der Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt.
Wie konstruierst du mit dem Geodreieck?
Spiegle eine Figur Punkt für Punkt. Bei einem Dreieck konstruierst du zuerst $A'$, dann $B'$ und schließlich $C'$.
- Zeichne eine Gerade durch den Originalpunkt und den Spiegelpunkt $S$.
- Miss den Abstand vom Originalpunkt zu $S$.
- Trage denselben Abstand auf der gegenüberliegenden Seite von $S$ ab.
- Markiere und benenne den Bildpunkt mit einem Apostroph.
- Wiederhole das Verfahren für alle Eckpunkte.
- Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie die Originalpunkte.
Der Punkt $A$ liegt $4\,\mathrm{cm}$ von $S$ entfernt. Zeichne die Gerade durch $A$ und $S$. Miss von $S$ aus auf der gegenüberliegenden Seite ebenfalls $4\,\mathrm{cm}$ ab und markiere dort $A'$.
Die Prüfung lautet: $A$, $S$ und $A'$ liegen auf einer Geraden, $S$ liegt zwischen beiden Punkten und beide Abstände zu $S$ betragen $4\,\mathrm{cm}$.
Wie gelingt die Konstruktion ohne Längenmessung?
Mit Zirkel und Lineal kannst du den Abstand übertragen, ohne eine Maßzahl abzulesen. Das Lineal dient dabei nur zum Zeichnen der Geraden.
- Zeichne eine ausreichend lange Gerade durch $P$ und $S$. Sie muss über $S$ hinausreichen.
- Setze die Zirkelspitze in $S$.
- Öffne den Zirkel bis zum Originalpunkt $P$.
- Zeichne einen Kreis oder Kreisbogen um $S$.
- Markiere den zweiten Schnittpunkt von Kreis und Gerade als $P'$.
Der Kreis sorgt für den gleichen Abstand zu $S$. Die Gerade sorgt dafür, dass Originalpunkt, Spiegelpunkt und Bildpunkt auf einer Linie liegen. Als Bildpunkt wählst du den Schnittpunkt auf der gegenüberliegenden Seite, nicht erneut $P$.
Wie spiegelst und prüfst du eine ganze Figur?
Eine Figur wird nicht als Ganzes verschoben. Du spiegelst jeden Eckpunkt einzeln und verbindest anschließend die zugehörigen Bildpunkte.
Für ein Dreieck $ABC$ gehst du so vor:
- Konstruiere $A'$ aus $A$.
- Konstruiere $B'$ aus $B$.
- Konstruiere $C'$ aus $C$.
- Verbinde $A'$, $B'$ und $C'$ zum Bilddreieck.
Das Bilddreieck $A'B'C'$ hat dieselbe Form und Größe wie $ABC$. Beide Dreiecke sind deckungsgleich: Durch geeignetes Bewegen können sie genau zur Deckung gebracht werden.
Bei einer Punktspiegelung bleiben erhalten:
- die Anzahl der Ecken,
- die Längen zugehöriger Strecken,
- die Größen zugehöriger Winkel,
- Form und Größe der Figur.
Die Punktspiegelung entspricht außerdem einer Drehung um $180^\circ$ um das Spiegelzentrum. Der Spiegelpunkt selbst wird dabei auf sich selbst abgebildet.
Eine korrekte Bildfigur ist deckungsgleich mit dem Original. Veränderte Seitenlängen oder Winkel zeigen einen Konstruktionsfehler.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
Prüfe jede Konstruktion mit drei kurzen Fragen:
- Liegen Originalpunkt, Spiegelpunkt und Bildpunkt auf einer Geraden?
- Liegt der Spiegelpunkt zwischen Originalpunkt und Bildpunkt?
- Sind beide Abstände zum Spiegelpunkt gleich groß?
Typische Fehler sind:
- Der Bildpunkt wird auf der falschen Seite markiert.
- Der Abstand wird vom Originalpunkt statt vom Spiegelpunkt aus abgetragen.
- Nur der gleiche Abstand wird geprüft, nicht die gemeinsame Gerade.
- Bei einer Figur werden Bildpunkte in der falschen Reihenfolge verbunden.
- Der Zirkelradius verändert sich während der Übertragung eines Abstands.
Du prüfst einen vermeintlichen Bildpunkt $B'$. Zwar gilt $SB=SB'$, aber $B$, $S$ und $B'$ liegen nicht auf einer Geraden. Deshalb ist $B'$ nicht der Bildpunkt von $B$ bei der Punktspiegelung an $S$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Punktspiegelung
- Spiegelzentrum $S$
- bleibt an seinem Platz
- Punkt und Bildpunkt
- gemeinsame Gerade
- gleicher Abstand zu $S$
- $S$ liegt dazwischen
- Konstruktion
- mit Geodreieck messen
- mit Zirkel Abstand übertragen
- Bildfigur
- Bildpunkte passend verbinden
- deckungsgleich zum Original
- Eigenschaften
- Längen und Winkel bleiben erhalten
- entspricht einer Drehung um $180^\circ$
- Spiegelzentrum $S$
Abschluss-Check
Du kannst eine Punktspiegelung sicher ausführen, wenn du jeden Punkt auf der gemeinsamen Geraden gleich weit auf die gegenüberliegende Seite überträgst. Mit der Drei-Fragen-Prüfung erkennst du anschließend, ob jeder Bildpunkt richtig liegt.