Achsenspiegelung einfach erklärt und konstruiert

Die Ausgangsfigur heißt Urfigur, die gespiegelte Figur Bildfigur. Zu jedem Urpunkt gehört genau ein Bildpunkt. Aus dem Punkt $P$ wird zum Beispiel $P'$; aus dem Dreieck $ABC$ wird $A'B'C'$.

Für einen Urpunkt außerhalb der Achse und seinen Bildpunkt gelten zwei entscheidende Bedingungen. Senkrecht bedeutet dabei: Die Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel, also $90^\circ$.

1. Urpunkt und Bildpunkt liegen auf gegenüberliegenden Seiten und haben denselben senkrechten Abstand zur Spiegelachse.
2. Die Strecke zwischen beiden Punkten steht senkrecht auf der Spiegelachse. Die Achse halbiert diese Strecke.

Beim Spiegeln bleiben Streckenlängen und Winkel erhalten. Der Orientierungssinn, auch Umlaufsinn genannt, kehrt sich jedoch um: Gehst du bei einem Dreieck von $A$ über $B$ zu $C$ gegen den Uhrzeigersinn, gehst du bei seinem Spiegelbild von $A'$ über $B'$ zu $C'$ im Uhrzeigersinn.

Gegeben sind ein Punkt $P$ außerhalb der Spiegelachse und die Spiegelachse $a$.

1. Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf die Spiegelachse. Das ist die Linie, die von der Nullmarke der langen Kante zur gegenüberliegenden Ecke führt.
2. Verschiebe das Geodreieck entlang der Achse, bis seine lange Kante durch $P$ verläuft. Zeichne dort eine Hilfslinie: Sie steht senkrecht auf der Achse.
3. Miss auf dieser Hilfslinie den Abstand von $P$ bis zum Schnittpunkt mit der Achse.
4. Trage denselben Abstand auf derselben senkrechten Linie auf der anderen Seite ab.
5. Markiere den neuen Punkt als $P'$.

Prüfe deine Konstruktion

Für einen Punkt außerhalb der Achse kontrollierst du drei Fragen:

• Sind beide Abstände zur Achse gleich groß?
• Liegen die Punkte auf verschiedenen Seiten der Achse?
• Steht ihre Verbindung senkrecht auf der Achse?

Liegt $P$ direkt auf der Achse, brauchst du keinen Abstand abzutragen: Beschrifte denselben Punkt mit $P=P'$.

Übung: Konstruiere und begründe

Zeichne eine Gerade $a$ und einen Punkt $Q$ mit $3\,\mathrm{cm}$ senkrechtem Abstand zu ihr. Spiegle $Q$ an $a$. Wie weit liegen $Q$ und $Q'$ auseinander? Markiere außerdem einen Punkt $D$ auf $a$ und bestimme $D'$.

Lösung zur Konstruktion

Zeichne die Senkrechte durch $Q$ zu $a$. Trage vom Schnittpunkt mit $a$ auf dieser Linie $3\,\mathrm{cm}$ zur anderen Seite ab. Dort liegt $Q'$. Die beiden Teilstrecken ergeben $3\,\mathrm{cm}+3\,\mathrm{cm}=6\,\mathrm{cm}$. Für $D$ gilt $D'=D$, weil sein Abstand zur Achse null ist.

Bei einer Figur aus geraden Seiten, etwa einem Dreieck oder Viereck, genügt es, die Eckpunkte einzeln zu spiegeln. Erst danach verbindest du die Bildpunkte in der entsprechenden Reihenfolge.

Achte darauf, die Bildpunkte nicht einfach waagerecht oder senkrecht zum Blattrand zu verschieben. Entscheidend ist immer die Richtung senkrecht zur Spiegelachse. Bei einer schrägen Achse verlaufen deshalb auch die Hilfslinien schräg auf dem Blatt.

Ein Punkt auf der Spiegelachse hat den Abstand null zur Achse. Sein Bildpunkt liegt deshalb genau an derselben Stelle.

Alle Punkte der Spiegelachse sind Fixpunkte. Deshalb heißt die Spiegelachse auch Fixpunktgerade.

Eine andere Gerade kann als Ganzes erhalten bleiben, obwohl ihre Punkte ihre Plätze wechseln. Jede Gerade, die senkrecht zur Spiegelachse verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine Fixgerade, aber keine Fixpunktgerade: Nur ihr Schnittpunkt mit der Spiegelachse bleibt fest, alle anderen Punkte wechseln auf die andere Seite.

Fehler 1: Abstand in der falschen Richtung messen

Der kürzeste Abstand eines Punktes zu einer Geraden wird immer senkrecht gemessen. Eine schräge Messstrecke liefert nicht den gesuchten Abstand.

Fehler 2: Nur die Entfernung prüfen

Gleicher Abstand allein genügt nicht. Urpunkt und Bildpunkt müssen außerdem auf derselben Senkrechten zur Achse liegen.

Fehler 3: Bildpunkte falsch verbinden

Verbinde die Bildpunkte entsprechend der Urfigur. Sonst entsteht trotz richtig gespiegelter Einzelpunkte eine andere Figur.

Fehler 4: Einen Punkt auf der Achse doppelt zeichnen

Ein solcher Punkt ist zugleich Urpunkt und Bildpunkt. Du verwendest ihn nur einmal.

Du kannst eine Achsenspiegelung sicher beurteilen, wenn du nicht nur auf das Aussehen achtest: Prüfe bei Punkten außerhalb der Achse den gleichen Abstand, die gegenüberliegenden Seiten und die senkrechte Verbindung. Punkte auf der Spiegelachse bleiben fest.