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Achsenspiegelung einfach erklärt und konstruiert
Bei einer Achsenspiegelung entsteht auf der anderen Seite einer Geraden ein deckungsgleiches Spiegelbild. Urpunkt und Bildpunkt liegen gleich weit von dieser Spiegelachse entfernt. Ihre Verbindungsstrecke steht senkrecht auf der Achse.
Auf dieser Seite lernst du, Spiegelbilder zu erkennen, Punkte und Figuren mit dem Geodreieck zu konstruieren und deine Konstruktion zu prüfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Achsenspiegelung?
Die Ausgangsfigur heißt Urfigur, die gespiegelte Figur Bildfigur. Zu jedem Urpunkt gehört genau ein Bildpunkt. Aus dem Punkt $P$ wird zum Beispiel $P'$; aus dem Dreieck $ABC$ wird $A'B'C'$.
Achsenspiegelung
Bei einer Achsenspiegelung wird jeder Punkt einer Figur an einer Geraden gespiegelt. Diese Gerade heißt Spiegelachse. Urfigur und Bildfigur sind deckungsgleich, also kongruent.
Für ein zusammengehöriges Punktepaar gelten zwei entscheidende Bedingungen:
- Urpunkt und Bildpunkt haben denselben senkrechten Abstand zur Spiegelachse.
- Die Strecke zwischen beiden Punkten steht senkrecht auf der Spiegelachse. Die Achse halbiert diese Strecke.
Gleicher Abstand, entgegengesetzte Seite, senkrechter Weg: So erkennst du ein korrektes Spiegelpaar.
Beim Spiegeln bleiben Streckenlängen und Winkel erhalten. Der Orientierungssinn kehrt sich jedoch um. Eine gegen den Uhrzeigersinn beschriftete Figur ist danach im Uhrzeigersinn beschriftet.
Wie spiegelst du einen Punkt mit dem Geodreieck?
Gegeben sind ein Punkt $P$ und eine Spiegelachse $a$.
- Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf die Spiegelachse.
- Verschiebe es, bis du durch $P$ senkrecht zur Achse messen kannst.
- Miss den Abstand von $P$ zur Spiegelachse.
- Trage denselben Abstand auf derselben senkrechten Linie auf der anderen Seite ab.
- Markiere den neuen Punkt als $P'$.
Der Punkt $P$ liegt senkrecht gemessen $4\,\mathrm{cm}$ von der Spiegelachse entfernt. Du gehst auf derselben senkrechten Linie auf die andere Seite und markierst dort ebenfalls $4\,\mathrm{cm}$ Abstand.
Der neue Punkt ist $P'$. Zwischen $P$ und $P'$ liegen insgesamt $8\,\mathrm{cm}$; die Spiegelachse verläuft genau durch die Mitte dieser Strecke.
Prüfe deine Konstruktion
Kontrolliere drei Fragen:
- Sind beide Abstände zur Achse gleich groß?
- Liegen die Punkte auf verschiedenen Seiten der Achse?
- Steht ihre Verbindung senkrecht auf der Achse?
Wie spiegelst du eine ganze Figur?
Eine Figur spiegelst du Punkt für Punkt. Erst danach verbindest du die Bildpunkte in der entsprechenden Reihenfolge.
Du möchtest das Dreieck $ABC$ an der Geraden $a$ spiegeln.
- Konstruiere zu $A$ den Bildpunkt $A'$.
- Wiederhole das Verfahren für $B$ und $C$.
- Verbinde $A'$, $B'$ und $C'$ in derselben Zuordnung wie bei der Urfigur.
- Prüfe gleiche Seitenlängen, gleiche Winkel und die umgekehrte Orientierung.
So entsteht das kongruente Bilddreieck $A'B'C'$.
Achte darauf, die Bildpunkte nicht einfach waagerecht oder senkrecht zum Blattrand zu verschieben. Entscheidend ist immer die Richtung senkrecht zur Spiegelachse. Bei einer schrägen Achse verlaufen deshalb auch die Hilfslinien schräg auf dem Blatt.
Was geschieht mit Punkten auf der Spiegelachse?
Ein Punkt auf der Spiegelachse hat den Abstand null zur Achse. Sein Bildpunkt liegt deshalb genau an derselben Stelle.
Fixpunkt
Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der bei einer Abbildung an seinem Platz bleibt. Liegt $D$ auf der Spiegelachse, gilt $D=D'$.
Alle Punkte der Spiegelachse sind Fixpunkte. Deshalb heißt die Spiegelachse auch Fixpunktgerade.
Eine andere Gerade kann als Ganzes erhalten bleiben, obwohl ihre Punkte ihre Plätze wechseln. Jede Gerade, die senkrecht zur Spiegelachse verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine Fixgerade, aber normalerweise keine Fixpunktgerade.
Der Unterschied liegt bei den einzelnen Punkten: Auf einer Fixpunktgeraden bleibt jeder Punkt fest. Auf einer Fixgeraden bleibt die Gerade als Ganzes erhalten, während ihre Punkte im Allgemeinen miteinander vertauscht werden.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
Fehler 1: Abstand in der falschen Richtung messen
Der kürzeste Abstand eines Punktes zu einer Geraden wird immer senkrecht gemessen. Eine schräge Messstrecke liefert nicht den gesuchten Abstand.
Fehler 2: Nur die Entfernung prüfen
Gleicher Abstand allein genügt nicht. Urpunkt und Bildpunkt müssen außerdem auf derselben Senkrechten zur Achse liegen.
Fehler 3: Bildpunkte falsch verbinden
Verbinde die Bildpunkte entsprechend der Urfigur. Sonst entsteht trotz richtig gespiegelter Einzelpunkte eine andere Figur.
Fehler 4: Einen Punkt auf der Achse doppelt zeichnen
Ein solcher Punkt ist zugleich Urpunkt und Bildpunkt. Du verwendest ihn nur einmal.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Achsenspiegelung
- Zuordnung: Urpunkt wird Bildpunkt
- Lage: gleicher Abstand auf gegenüberliegenden Seiten
- Konstruktion: senkrecht messen und Abstand übertragen
- Erhaltung: Längen und Winkel bleiben gleich
- Orientierung: Umlaufsinn kehrt sich um
- Sonderfall: Punkte auf der Achse bleiben fest
Abschluss-Check
Du kannst eine Achsenspiegelung sicher beurteilen, wenn du nicht nur auf das Aussehen achtest: Prüfe für zusammengehörige Punkte immer den gleichen Abstand, die gegenüberliegenden Seiten und die senkrechte Verbindung zur Spiegelachse.