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Drehung in der Geometrie: Konstruieren und prüfen
Bei einer Drehung bewegst du eine Figur um einen festen Punkt. Dabei bestimmen das Drehzentrum $Z$, der Drehwinkel $\alpha$ und die Drehrichtung eindeutig, wo die Bildfigur liegt. Form und Größe der Figur bleiben erhalten.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Drehung?
Eine Drehung bildet jeden Punkt $P$ auf einen Bildpunkt $P'$ ab. Der Strich wird „P Strich“ gesprochen.
Drehung
Eine Drehung um das Zentrum $Z$ mit dem Drehwinkel $\alpha$ erfüllt für jeden Punkt $P$ und seinen Bildpunkt $P'$ zwei Bedingungen:
- Beide Punkte haben denselben Abstand vom Zentrum: $ZP = ZP'$.
- Der Winkel zwischen $ZP$ und $ZP'$ ist der Drehwinkel: $\angle PZP' = \alpha$.
Du kannst dir die Bewegung so vorstellen: $P$ läuft auf einem Kreis um $Z$. Der Radius dieses Kreises ist $ZP$. Deshalb kann sich der Abstand zum Zentrum während der Drehung nicht ändern.
Die Drehrichtung gehört zur Aufgabe. Gegen den Uhrzeigersinn bedeutet eine Bewegung nach links herum, im Uhrzeigersinn eine Bewegung nach rechts herum. Ist auf dieser Seite keine Richtung genannt, wird gegen den Uhrzeigersinn gedreht.
Der Mittelpunkt $Z$ bleibt bei einer Drehung an seinem Platz. Eine echte ebene Drehung mit einem Winkel, der nicht einer vollen Drehung entspricht, hat genau diesen einen Fixpunkt. Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird.
Wie konstruierst du einen Bildpunkt?
Angenommen, der Punkt $A$ soll um $Z$ um $60^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden.
- Zeichne die Strecke $ZA$.
- Zeichne mit dem Zirkel einen Kreis um $Z$ durch $A$. Sein Radius ist $ZA$.
- Trage in $Z$ von der Strecke $ZA$ aus einen Winkel von $60^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn ab.
- Verlängere den neuen Winkelschenkel bis zum Kreis.
- Der Schnittpunkt von Schenkel und Kreis ist $A'$.
Die Konstruktion erfüllt beide Bedingungen: $ZA'=ZA$, weil $A'$ auf dem Kreis liegt, und $\angle AZA'=60^\circ$, weil der Winkel so abgetragen wurde.
Du kannst statt des Kreises auch die Länge $ZA$ messen und auf dem neuen Schenkel abtragen. Der Kreis macht die Gleichheit der Abstände jedoch besonders deutlich.
Kreis sichert den Abstand, Winkelschenkel sichert die Richtung. Erst beide Bedingungen zusammen bestimmen den Bildpunkt.
Wie drehst du eine ganze Figur?
Du musst nicht jeden Punkt einer Figur einzeln drehen. Bei einem Vieleck genügen die Eckpunkte. Bei zusammengesetzten Figuren wählst du die Punkte, die ihre Form bestimmen, etwa Eckpunkte, Schnittpunkte oder Kreismittelpunkte.
Ein Dreieck $ABC$ soll um $Z$ um $60^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden.
- Konstruiere $A'$ mit Kreis und $60^\circ$-Winkel.
- Wiederhole dieselben Schritte für $B$ und $C$. Jeder Bildpunkt behält seinen ursprünglichen Abstand zu $Z$.
- Verbinde $A'$, $B'$ und $C'$ in derselben Reihenfolge wie $A$, $B$ und $C$.
- Prüfe für jeden Punkt den Abstand und den Drehwinkel.
So entsteht das Bilddreieck $A'B'C'$. Alle drei Eckpunkte wurden um dasselbe Zentrum, denselben Winkel und in dieselbe Richtung gedreht.
Ein häufiger Fehler ist, nur einen Eckpunkt korrekt zu drehen und die übrigen Punkte nach Augenmaß einzuzeichnen. Dann können Seitenlängen und Winkel der Figur verändert werden.
Was bleibt bei einer Drehung erhalten?
Eine Drehung ist eine Kongruenzabbildung. Das bedeutet: Ausgangsfigur und Bildfigur sind deckungsgleich. Sie passen ohne Verformen und ohne Wenden genau aufeinander.
Dabei bleiben erhalten:
- Längen: Entsprechende Strecken sind gleich lang.
- Winkel: Entsprechende Winkel sind gleich groß.
- Flächeninhalte: Ausgangsfigur und Bildfigur haben denselben Flächeninhalt.
- Geraden: Eine Gerade wird wieder auf eine Gerade abgebildet.
- Orientierung: Die Reihenfolge der Eckpunkte bleibt erhalten; die Figur wird nicht umgeklappt.
Eine Drehung verändert also die Lage einer Figur, aber weder ihre Form noch ihre Größe. Die Abstände der Figurenpunkte zum Drehzentrum können unterschiedlich sein. Für jeden einzelnen Punkt bleibt jedoch sein eigener Abstand zu $Z$ erhalten.
Warum ist eine Drehung um 180° eine Punktspiegelung?
Bei einer Drehung um $180^\circ$ liegt der Bildpunkt genau auf der gegenüberliegenden Seite des Drehzentrums.
Punktspiegelung
Die Punktspiegelung an $Z$ ist eine Drehung um $180^\circ$. Für einen Punkt $P$ und seinen Bildpunkt $P'$ gilt:
- $P$, $Z$ und $P'$ liegen auf einer Geraden.
- $ZP=ZP'$.
- $Z$ liegt zwischen $P$ und $P'$.
So konstruierst du $P'$:
- Zeichne die Gerade durch $P$ und $Z$.
- Verlängere sie über $Z$ hinaus.
- Trage auf der anderen Seite von $Z$ die Länge $ZP$ ab.
- Der neue Punkt ist $P'$.
Bei einer $180^\circ$-Drehung ist $Z$ die Mitte der Strecke $PP'$.
Eine Drehung um $360^\circ$ ist dagegen eine volle Drehung: Jeder Punkt kehrt an seinen Ausgangsort zurück. Auch Drehwinkel, die sich um ein Vielfaches von $360^\circ$ unterscheiden, beschreiben dieselbe Lage.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Drehung
- wird bestimmt durch Zentrum, Winkel und Richtung
- bildet $P$ auf $P'$ ab
- erhält Abstand zum Zentrum und Drehwinkel
- erhält Längen, Winkel, Fläche und Orientierung
- entsteht bei Figuren aus gedrehten kennzeichnenden Punkten
- wird bei $180^\circ$ zur Punktspiegelung
- führt bei $360^\circ$ zur Ausgangslage zurück
Abschluss-Check
Prüfe deine eigene Zeichnung abschließend mit drei Fragen: Haben Punkt und Bildpunkt denselben Abstand von $Z$? Stimmt der Drehwinkel samt Richtung? Wurde die Bildfigur aus den Bildpunkten in der ursprünglichen Struktur rekonstruiert?