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Drehsymmetrie erkennen und berechnen
Eine Figur ist drehsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um einen festen Punkt wieder genau auf sich liegt. Dafür muss es einen passenden Drehwinkel zwischen $0°$ und $360°$ geben. Eine volle Drehung um $360°$ genügt nicht, denn danach sieht jede Figur wieder wie zuvor aus.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du Drehsymmetrie?
Stell dir vor, du drehst eine Figur um einen festen Punkt. Liegt sie nach einer Drehung von weniger als $360°$ wieder genau auf ihrer Ausgangslage, ist sie drehsymmetrisch.
Drehsymmetrie
Eine Figur ist drehsymmetrisch, wenn eine Drehung um einen Drehpunkt mit einem Winkel $α$ zwischen $0°$ und $360°$ die Figur auf sich selbst abbildet. „Auf sich selbst abbilden“ bedeutet: Nach der Drehung stimmen alle Teile der Figur mit ihrer ursprünglichen Lage überein.
Nicht nur der Rand zählt. Farben, Muster und andere Markierungen gehören ebenfalls zur Figur. Ein gedrehtes Quadrat kann deshalb mit seinem Rand zur Deckung kommen, aber wegen verschiedenfarbiger Ecken trotzdem nicht unverändert aussehen.
Prüfe immer die ganze Figur: Form, Farben und Markierungen müssen nach der Drehung übereinstimmen.
Wie hängen Drehwinkel und Zähligkeit zusammen?
Der kleinste positive Drehwinkel, bei dem die Figur wieder passt, heißt hier $α$. Die Zähligkeit $n$ gibt an, wie viele passende Lagen bei einer vollständigen Drehung vorkommen. Die Ausgangslage beziehungsweise die Lage bei $360°$ wird dabei mitgezählt.
Zwischen beiden Größen gilt:
$$α = 360° : n$$
Umgekehrt gilt:
$$n = 360° : α$$
Eine Figur passt erstmals nach einer Drehung um $90°$ wieder auf sich selbst.
- $90°$ ist der kleinste passende Drehwinkel.
- Berechne die Zähligkeit: $n = 360° : 90° = 4$.
- Die passenden Lagen entstehen bei $90°$, $180°$, $270°$ und $360°$.
Die Figur ist also vierzählig drehsymmetrisch.
Die Formel für $n$ darfst du nur mit dem kleinsten passenden Drehwinkel verwenden. Setzt du bei derselben Figur etwa $180°$ statt $90°$ ein, erhältst du nicht ihre vollständige Zähligkeit.
Wie bestimmst du regelmäßige Vielecke?
Ein regelmäßiges Vieleck besitzt gleich lange Seiten und gleich große Innenwinkel. Sein Drehpunkt liegt in der Mitte. Ein regelmäßiges $n$-Eck ist $n$-zählig drehsymmetrisch.
Bestimme die Drehsymmetrie eines regelmäßigen Fünfecks.
- Das Fünfeck besitzt fünf gleichartige Ecken und Seitenabschnitte.
- Bei einer vollständigen Drehung entstehen daher fünf passende Lagen.
- Es gilt $n = 5$.
- Der kleinste Drehwinkel ist $α = 360° : 5 = 72°$.
Das regelmäßige Fünfeck ist fünfzählig drehsymmetrisch. Es passt bei $72°$, $144°$, $216°$, $288°$ und $360°$.
Für ein gleichseitiges Dreieck gilt entsprechend:
- Zähligkeit: $n = 3$
- kleinster Drehwinkel: $α = 360° : 3 = 120°$
- passende Drehungen: $120°$, $240°$ und $360°$
Für ein Quadrat gilt:
- Zähligkeit: $n = 4$
- kleinster Drehwinkel: $α = 360° : 4 = 90°$
Warum ist Punktsymmetrie ein Spezialfall?
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn eine Drehung um $180°$ sie auf sich selbst abbildet. Der Symmetriepunkt ist dabei zugleich der Drehpunkt.
Weil $180°$ kleiner als $360°$ ist, erfüllt jede punktsymmetrische Figur auch die Bedingung der Drehsymmetrie. Ihre Zähligkeit hängt jedoch vom kleinsten passenden Drehwinkel ab: Ist $180°$ der kleinste passende Winkel, ist die Figur zweizählig. Passt sie schon bei einem kleineren Winkel, kann ihre Zähligkeit größer sein.
Jede punktsymmetrische Figur ist drehsymmetrisch. Aber nicht jede drehsymmetrische Figur ist punktsymmetrisch. Punktsymmetrie bedeutet, dass eine Drehung um genau $180°$ passt.
Ein gleichseitiges Dreieck zeigt die Abgrenzung: Es ist bei $120°$ drehsymmetrisch, passt aber nach $180°$ nicht auf sich selbst. Deshalb ist es nicht punktsymmetrisch.
Wie prüfst du eine unbekannte Figur?
Gehe beim Untersuchen in einer festen Reihenfolge vor:
- Drehpunkt suchen: Bei regelmäßigen Vielecken ist es der Mittelpunkt. Der Drehpunkt kann bei anderen Figuren auch außerhalb der Figur liegen.
- Figur gedanklich oder auf einer Kopie drehen: Prüfe mögliche Winkel unter $360°$.
- Kleinsten passenden Winkel bestimmen: Alle Teile müssen genau übereinstimmen.
- Zähligkeit berechnen: Verwende $n = 360° : α$.
- Ergebnis kontrollieren: $n$ muss angeben, wie viele passende Lagen eine volle Drehung enthält.
Eine markierte Figur passt nach $180°$ auf sich selbst, aber nicht nach einem kleineren positiven Winkel.
Der kleinste Drehwinkel ist $180°$. Daher gilt $n = 360° : 180° = 2$. Die Figur ist zweizählig drehsymmetrisch und zugleich punktsymmetrisch.
Bei Naturformen ist Vorsicht nötig. Blumen, Schneeflocken, Früchte oder Seesterne wirken häufig drehsymmetrisch, sind aber oft nur annähernd symmetrisch. In der Geometrie wird normalerweise eine exakte Deckung verlangt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Drehsymmetrie
- Erkennen
- Drehung um einen festen Drehpunkt
- Exakte Deckung unter $360°$
- Berechnen
- Kleinster Drehwinkel $α = 360° : n$
- Zähligkeit $n = 360° : α$
- Sonderfall
- Punktsymmetrie bei $180°$
- Prüfen
- Form, Farben und Markierungen beachten
- Naturformen können nur annähernd symmetrisch sein
- Erkennen