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Achsensymmetrie erkennen, prüfen und zeichnen
Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie beim Spiegeln an einer Geraden genau auf sich selbst passt. Diese Gerade heißt Spiegelachse oder Symmetrieachse.
Du kannst Achsensymmetrie durch Falten oder mit einem Spiegel prüfen. Beim Zeichnen achtest du darauf, dass ein Punkt und sein Spiegelpunkt gleich weit von der Achse entfernt sind.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du Achsensymmetrie?
Stell dir vor, du faltest eine Figur entlang einer geraden Linie. Decken sich danach alle Teile der einen Seite genau mit den passenden Teilen der anderen Seite, ist die Figur an dieser Linie achsensymmetrisch.
Achsensymmetrie
Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn eine Spiegelung an einer Achse die Figur auf sich selbst abbildet. Die beiden Seiten liegen beim Falten genau aufeinander: Sie sind deckungsgleich.
Die Symmetrieachse ist die Gerade, an der gespiegelt wird. Punkte auf der Achse bleiben beim Spiegeln an ihrem Platz. Alle anderen Punkte erhalten auf der gegenüberliegenden Seite einen passenden Bildpunkt.
Gleich große Flächen allein reichen nicht aus. Formen, Ecken und Linien müssen spiegelbildlich zueinander liegen.
Ein Papierherz wird mittig senkrecht gefaltet. Liegen der linke und der rechte Rand vollständig aufeinander, ist der Falz eine Symmetrieachse des Herzens.
Bleibt dagegen eine Ecke neben ihrem Gegenstück liegen, sind die beiden Seiten nicht deckungsgleich. Der Falz ist dann keine Symmetrieachse.
Eine Symmetrieachse teilt eine Figur nicht nur in zwei gleich große, sondern in zwei spiegelbildlich passende Teile.
Wie prüfst du eine vermutete Spiegelachse?
Du kannst eine vermutete Achse auf zwei Arten untersuchen.
Prüfen durch Falten
- Falte die Figur genau entlang der vermuteten Achse.
- Vergleiche Ränder, Ecken und eingezeichnete Linien.
- Prüfe, ob alle entsprechenden Teile aufeinanderliegen.
- Nur bei vollständiger Deckung ist der Falz eine Symmetrieachse.
Prüfen mit einem Spiegel
- Stelle die Spiegelkante genau auf die vermutete Achse.
- Betrachte eine Seite zusammen mit ihrem Spiegelbild.
- Vergleiche dieses Bild mit der tatsächlich vorhandenen anderen Seite.
- Stimmen Form und Lage vollständig überein, ist die Linie eine Symmetrieachse.
Eine Figur kann keine, eine oder mehrere Symmetrieachsen besitzen. Deshalb solltest du verschiedene mögliche Achsen prüfen.
Bei einem nicht quadratischen Rechteck funktionieren zwei Faltungen: die senkrechte und die waagerechte Mittellinie. Eine Diagonale funktioniert nicht, denn dabei passen eine lange und eine kurze Seite nicht aufeinander.
Wie spiegelst du Punkte und Figuren auf einem Gitter?
Zu jedem Punkt auf einer Seite der Achse gehört ein Spiegelpunkt auf der anderen Seite. Beide haben denselben Abstand von der Symmetrieachse.
So gehst du auf Karopapier vor:
- Wähle einen Eckpunkt der vorhandenen halben Figur.
- Zähle den kürzesten Abstand dieses Punktes bis zur Achse in Kästchen.
- Gehe auf der anderen Seite der Achse genauso viele Kästchen weiter.
- Markiere dort den Spiegelpunkt.
- Wiederhole das für alle wichtigen Eckpunkte.
- Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie in der Ausgangsfigur.
- Kontrolliere das Ergebnis durch Falten oder mit einem Spiegel.
Die Spiegelachse liegt auf der senkrechten Gitterlinie $x=4$. Der Punkt $A$ liegt bei $(1|2)$.
Sein Abstand zur Achse beträgt $4-1=3$ Kästchen. Auf der anderen Seite gehst du ebenfalls drei Kästchen weiter: $7-4=3$. Der Bildpunkt ist deshalb $A'=(7|2)$.
Die zweite Koordinate bleibt gleich, weil sich der Punkt nur waagerecht über die senkrechte Achse hinweg bewegt.
Erst den Abstand zur Achse zählen, dann denselben Abstand auf der anderen Seite abtragen. Punkte auf der Achse werden nicht verschoben.
Probiere es selbst
Eine senkrechte Spiegelachse liegt auf $x=5$. Spiegle die Punkte $B=(3|1)$ und $C=(5|4)$.
Lösung: $B$ liegt zwei Kästchen links von der Achse. Sein Bildpunkt liegt daher zwei Kästchen rechts davon: $B'=(7|1)$. Der Punkt $C$ liegt direkt auf der Achse und bleibt unverändert: $C'=(5|4)$.
Welche Figuren besitzen wie viele Symmetrieachsen?
Die Anzahl der Symmetrieachsen hängt von der genauen Form ab. Eine Figur kann mehr als eine richtige Faltlinie besitzen.
| Figur | Anzahl der Symmetrieachsen | Lage der Achsen |
|---|---|---|
| Gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck | 1 | durch die Spitze und die Mitte der gegenüberliegenden Seite |
| Gleichseitiges Dreieck | 3 | jeweils durch eine Ecke und die Mitte der gegenüberliegenden Seite |
| Rechteck, das kein Quadrat ist | 2 | waagerechte und senkrechte Mittellinie |
| Quadrat | 4 | zwei Mittellinien und zwei Diagonalen |
Ein gleichschenkliges Dreieck besitzt zwei gleich lange Seiten. Ein gleichseitiges Dreieck besitzt drei gleich lange Seiten; seine drei Winkel sind jeweils $60°$ groß.
Beim Quadrat bringen vier verschiedene Faltungen die Figur zur Deckung: eine waagerechte Mittellinie, eine senkrechte Mittellinie und beide Diagonalen.
Bei einem nicht quadratischen Rechteck funktionieren nur die beiden Mittellinien. Die Diagonalen sind dort keine Symmetrieachsen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Achsensymmetrie
- erkennen: spiegelbildliche Seiten und vollständige Deckung
- prüfen: falten oder Spiegel anlegen
- zeichnen: gleichen Achsenabstand abtragen und Bildpunkte verbinden
- Symmetrieachsen: keine, eine oder mehrere; Quadrat vier, Rechteck zwei
Abschluss-Check
Du kannst Achsensymmetrie jetzt auf drei miteinander verbundenen Wegen untersuchen: durch Deckung prüfen, gleiche Achsenabstände vergleichen und alle möglichen Achsen einzeln testen.