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Kongruenz: Figuren und Dreiecke sicher prüfen
Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie dieselbe Form und dieselbe Größe haben. Du könntest sie durch Verschieben, Drehen und eventuell Spiegeln genau zur Deckung bringen.
Auf dieser Seite lernst du, Kongruenz zu erkennen, von Ähnlichkeit abzugrenzen und Dreiecke mit den vier Kongruenzsätzen zu prüfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du kongruente Figuren?
Kongruenz
Zwei Figuren sind kongruent oder deckungsgleich, wenn eine Kongruenzabbildung die eine Figur genau auf die andere abbildet. Dann sind ihre entsprechenden Seiten gleich lang und ihre entsprechenden Winkel gleich groß.
Die Lage einer Figur spielt dabei keine Rolle. Eine gedrehte, verschobene oder gespiegelte Figur kann zum Original kongruent sein.
Wichtig ist die richtige Zuordnung: Entsprechende Ecken, Seiten und Winkel müssen zueinander passen. Gleicher Flächeninhalt allein genügt nicht, denn unterschiedlich geformte Figuren können dieselbe Fläche haben.
Zwei Dreiecke besitzen jeweils Seiten mit den Längen 4 cm, 5 cm und 6 cm. Das zweite Dreieck liegt gedreht auf dem Blatt.
Die drei entsprechenden Seiten sind gleich lang. Die Drehung ändert weder Längen noch Winkel. Daher sind die Dreiecke kongruent.
Welche Abbildungen erhalten die Kongruenz?
Eine Kongruenzabbildung verändert die Lage oder Ausrichtung einer Figur, aber nicht ihre Seitenlängen und Winkel.
Dazu gehören:
- Verschiebung: Jeder Punkt bewegt sich gleich weit in dieselbe Richtung.
- Drehung: Die Figur dreht sich um ein Zentrum.
- Spiegelung: Die Figur wird an einer Geraden gespiegelt.
- Kombinationen: Mehrere dieser Abbildungen werden nacheinander ausgeführt.
Verschieben, Drehen und Spiegeln ändern die Lage, aber nicht Form und Größe.
Lässt sich eine Figur nur durch Verschieben und Drehen auf die andere legen, sind beide gleichsinnig kongruent. Ist zusätzlich eine Spiegelung nötig, heißen sie nichtgleichsinnig kongruent.
Ein Pfeil wird zuerst nach rechts verschoben und danach um ein Drehzentrum gedreht. Alle Seiten und Winkel bleiben erhalten. Bild und Ausgangsfigur sind deshalb gleichsinnig kongruent.
Wird der Pfeil anschließend gespiegelt, bleibt er kongruent. Seine Orientierung kehrt sich jedoch um; zur Deckung ist nun eine Spiegelung nötig.
Wie unterscheidest du Kongruenz und Ähnlichkeit?
Ähnliche Figuren haben dieselbe Form, dürfen aber unterschiedlich groß sein. Entsprechende Winkel sind gleich groß, und entsprechende Seiten stehen im selben Verhältnis.
| Vergleich | Kongruent | Ähnlich |
|---|---|---|
| Form | gleich | gleich |
| Größe | gleich | kann verschieden sein |
| entsprechende Winkel | gleich groß | gleich groß |
| entsprechende Seiten | gleich lang | proportional |
| Streckung erlaubt | nur ohne Größenänderung | ja |
Kongruenz ist damit ein besonderer Fall der Ähnlichkeit: Die Form stimmt überein, und zusätzlich bleibt die Größe unverändert.
Ein Rechteck ist 3 cm breit und 6 cm lang. Ein zweites Rechteck ist 6 cm breit und 12 cm lang.
Die entsprechenden Seiten des zweiten Rechtecks sind jeweils doppelt so lang. Beide Rechtecke haben dieselbe Form, aber unterschiedliche Größen. Sie sind ähnlich, jedoch nicht kongruent.
Welche Kongruenzsätze gelten für Dreiecke?
Ein Bestimmungsstück ist eine bekannte Seite oder ein bekannter Winkel eines Dreiecks. Bei Dreiecken musst du nicht immer alle drei Seiten und alle drei Winkel vergleichen. Bestimmte Kombinationen aus drei unabhängigen Bestimmungsstücken legen ein Dreieck eindeutig fest.
| Satz | Diese Größen müssen übereinstimmen |
|---|---|
| SSS | drei entsprechende Seiten |
| SWS | zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel |
| WSW | zwei Winkel und die dazwischenliegende Seite |
| SsW | zwei Seiten und der Winkel gegenüber der größeren gegebenen Seite |
Die Reihenfolge der Buchstaben zeigt die Lage der gegebenen Größen:
- Bei SWS liegt der Winkel zwischen den beiden gegebenen Seiten.
- Bei WSW liegt die gegebene Seite zwischen den beiden gegebenen Winkeln.
- Bei SsW steht das kleine
sfür die kürzere und das großeSfür die größere gegebene Seite. Der bekannte Winkel liegt der größeren Seite gegenüber.
Bei zwei Dreiecken sind jeweils eine 5 cm lange Seite, eine 7 cm lange Seite und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel von 60° gegeben.
Der Winkel liegt zwischen den beiden bekannten Seiten. Deshalb passt der Satz SWS. Stimmen diese drei Bestimmungsstücke entsprechend überein, sind die Dreiecke kongruent.
Warum braucht SsW eine Zusatzbedingung?
Bei zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel kann die Konstruktion mehrdeutig sein. Ein Kreisbogen für die noch fehlende Ecke kann den freien Winkelschenkel zweimal schneiden. Dann entstehen zwei verschiedene Dreiecke mit denselben gegebenen Größen.
Der Kongruenzsatz SsW verhindert diese Mehrdeutigkeit durch eine Zusatzbedingung: Der gegebene Winkel muss der größeren der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegen.
Du kennst in einem Dreieck zwei Seiten und einen Winkel.
- Vergleiche zuerst die beiden gegebenen Seiten.
- Markiere die größere Seite.
- Prüfe, ob der bekannte Winkel dieser größeren Seite gegenüberliegt.
- Nur wenn das zutrifft, kannst du den Kongruenzsatz SsW anwenden.
Liegt der Winkel dagegen der kürzeren Seite gegenüber, reichen die Angaben nicht als SsW-Nachweis aus. Es können unterschiedliche Dreiecke möglich sein.
Bei SsW genügt nicht irgendein Winkel: Er muss der größeren gegebenen Seite gegenüberliegen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kongruenz
- bedeutet: gleiche Form und gleiche Größe
- erkennbar an: deckungsgleicher Abbildung
- bleibt erhalten bei: Verschiebung, Drehung und Spiegelung
- unterscheidet sich von: Ähnlichkeit mit möglicher Größenänderung
- Dreieckssätze: SSS, SWS, WSW und SsW
- wichtige SsW-Bedingung: Winkel gegenüber der größeren gegebenen Seite
Abschluss-Check
Wenn du bei einem Dreieck einen Kongruenzsatz auswählst, frage immer: Welche Seiten und Winkel sind gegeben, und wie liegen sie zueinander? Genau diese Lagebeziehung entscheidet über SSS, SWS, WSW oder SsW.