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Dreieckskonstruktion: SSS, SWS, WSW und SsW
Ein Dreieck lässt sich eindeutig konstruieren, wenn die gegebenen Seiten und Winkel zu einem passenden Kongruenzsatz gehören und alle Existenzbedingungen erfüllen. Du planst zuerst, zeichnest dann mit Geodreieck und Zirkel und prüfst am Ende dein Ergebnis.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Erst planen, dann konstruieren
Im Dreieck $ABC$ heißen die Seiten gegenüber den Eckpunkten $A$, $B$ und $C$ entsprechend $a$, $b$ und $c$:
$$a=\overline{BC},\qquad b=\overline{AC},\qquad c=\overline{AB}$$
Die Winkel heißen $\alpha$ bei $A$, $\beta$ bei $B$ und $\gamma$ bei $C$.
Bestimmungsstücke
Bestimmungsstücke sind gegebene Seitenlängen und Winkelgrößen, aus denen du ein Dreieck konstruierst. Drei Angaben genügen nur dann zur eindeutigen Festlegung, wenn mindestens eine Länge dabei ist, ein Kongruenzsatz passt und die Angaben ein Dreieck zulassen.
Gehe bei jeder Aufgabe in dieser Reihenfolge vor:
- Zeichne eine Planfigur freihändig.
- Beschrifte Eckpunkte, Seiten und Winkel.
- Markiere die gegebenen Stücke.
- Erkenne den Konstruktionsfall.
- Konstruiere und beschrifte das Ergebnis.
- Prüfe Längen, Winkel und mögliche weitere Lösungen.
Die Seite $a$ liegt nicht bei $A$, sondern gegenüber von $A$. Entsprechend liegen $b$ gegenüber von $B$ und $c$ gegenüber von $C$.
Mit SSS konstruieren und die Existenz prüfen
SSS bedeutet: Alle drei Seitenlängen sind gegeben. Zeichne eine Seite als Grundseite. Die beiden anderen Seiten stellst du als Kreisradien dar.
Dreiecksungleichung
Ein Dreieck existiert nur, wenn die Summe je zweier Seitenlängen größer als die dritte Seitenlänge ist. Berühren sich die Kreise nur, entsteht kein echtes Dreieck; erreichen sie sich nicht, gibt es ebenfalls kein Dreieck.
Gegeben sind $a=6\,\mathrm{cm}$, $b=4\,\mathrm{cm}$ und $c=7\,\mathrm{cm}$.
Zuerst prüfst du:
- $6\,\mathrm{cm}+4\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{cm}>7\,\mathrm{cm}$
- $6\,\mathrm{cm}+7\,\mathrm{cm}=13\,\mathrm{cm}>4\,\mathrm{cm}$
- $4\,\mathrm{cm}+7\,\mathrm{cm}=11\,\mathrm{cm}>6\,\mathrm{cm}$
Die Konstruktion ist möglich:
- Zeichne $\overline{AB}=c=7\,\mathrm{cm}$.
- Zeichne um $A$ einen Kreisbogen mit Radius $b=4\,\mathrm{cm}$.
- Zeichne um $B$ einen Kreisbogen mit Radius $a=6\,\mathrm{cm}$.
- Markiere einen Schnittpunkt als $C$.
- Verbinde $C$ mit $A$ und $B$.
Der zweite Kreisschnittpunkt auf der anderen Seite von $\overline{AB}$ liefert ein spiegelbildliches, aber deckungsgleiches Dreieck.
Mit SWS konstruieren
SWS bedeutet: Zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel sind gegeben. „Eingeschlossen“ heißt: Der Winkel liegt genau zwischen den beiden bekannten Seiten.
Gegeben sind $b=4\,\mathrm{cm}$, $c=7\,\mathrm{cm}$ und $\alpha=45^\circ$.
- Zeichne $\overline{AB}=c=7\,\mathrm{cm}$.
- Trage in $A$ den Winkel $\alpha=45^\circ$ an.
- Miss auf dem freien Schenkel $\overline{AC}=b=4\,\mathrm{cm}$ ab und markiere $C$.
- Verbinde $C$ mit $B$.
Der entscheidende Punkt ist die Lage von $\alpha$: Der Winkel liegt zwischen $b$ und $c$.
Mit WSW konstruieren
WSW bedeutet: Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel sind gegeben. Die freien Winkelschenkel müssen sich schneiden; dazu muss die Summe der beiden gegebenen Winkel kleiner als $180^\circ$ sein.
Gegeben sind $c=7\,\mathrm{cm}$, $\alpha=60^\circ$ und $\beta=35^\circ$.
- Zeichne $\overline{AB}=c=7\,\mathrm{cm}$.
- Trage in $A$ den Winkel $\alpha=60^\circ$ an.
- Trage in $B$ auf derselben Seite der Grundseite den Winkel $\beta=35^\circ$ an.
- Der Schnittpunkt der freien Schenkel ist $C$.
Zur Kontrolle gilt $\gamma=180^\circ-60^\circ-35^\circ=85^\circ$. Alle Winkel sind positiv und ihre Summe beträgt $180^\circ$.
Drei Winkel allein sind der Fall WWW und kein Kongruenzsatz: Sie bestimmen die Form, aber nicht die Größe des Dreiecks.
Den besonderen SsW-Fall beurteilen
Bei SsW sind zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben. Eindeutigkeit ist gesichert, wenn der gegebene Winkel der längeren der beiden bekannten Seiten gegenüberliegt.
Gegeben sind $a=4\,\mathrm{cm}$, $c=3\,\mathrm{cm}$ und $\alpha=30^\circ$.
Der Winkel $\alpha$ liegt der Seite $a$ gegenüber. Weil $a$ länger als $c$ ist, ist die Konstruktion eindeutig:
- Zeichne $\overline{AB}=c=3\,\mathrm{cm}$.
- Trage in $A$ den Winkel $\alpha=30^\circ$ an.
- Zeichne um $B$ einen Kreisbogen mit Radius $a=4\,\mathrm{cm}$.
- Sein Schnittpunkt mit dem freien Winkelschenkel ist $C$.
- Verbinde $C$ mit $B$.
Liegt der gegebene Winkel der kürzeren bekannten Seite gegenüber, kann der Kreisbogen den Winkelschenkel zweimal oder gar nicht schneiden. Dann entstehen zwei Dreiecke oder keine Lösung. Deshalb darfst du SsW nicht ohne Lageprüfung wie einen stets eindeutigen Kongruenzsatz behandeln.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Dreieckskonstruktion
- Planen: Planfigur zeichnen und Angaben zuordnen
- SSS: drei Seiten und Dreiecksungleichung
- SWS: zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel
- WSW: eine Seite mit zwei anliegenden Winkeln
- SsW: Gegenüberlage für Eindeutigkeit prüfen
- Kontrollieren: Beschriftung, Maße und Zahl der Lösungen